Question

Dany jest wielomian W(x)= 8x^4 + 24x^3 + x + 3
Podaj przykład wielomianu stopnia drugiego , który ma dwa pierwiastki i jest dzielnikiem wielomianu W(x).

Answer 1

W(x)= 8x^4 + 24x^3 + x + 3
Zauważam, że (-3) jest pierwiastkiem wielomianu.
Sprawdzenie: W(-3) = 8*(-3)^4 + 24*(-3)^3 - 3 + 3 = 8*81 + 24*(-27) = 648 - 648 = 0
Zatem W(x) można zapisać jako W(x) = (x+3)*P(x);
Korzystając z Twierdzenia Bezouta ( <3 ) Obliczam P(x):
P(x) = W(x)/(x+3) = 8x^3 +1
Od razu widać, że pierwiastkiem P(x) (a zatem także W(x) ) jest liczba -1/2 , bo (8*(-1/2)^3 = -1)
Znowu korzystamy z Tw. Bezouta, tym razem dzieląc P(x) przez (x +1/2). Otrzymamy R(x) = 8x^2 - 4x +1
Wyróżnik (delta) tego trójmianu kwadratowego jest ujemny i wynosi -17, zatem nie da się go zapisać w postaci iloczynowej.
Ostatecznie otrzymujemy więc:
W(x)= (x+3)(x+1/2)(8x^2 - 4x + 1)
Zatem poszukiwany wielomian (nazwijmy go S(x) ) to iloczyn dwóch pierwszych czynników W(x) i ma postać:
S(x) = (x+3)(x+1/2)= x^2 +3,5x + 1,5.

Proszę :P