Question

Dany jest układ trzech punktów materialnych o masach mA=1kg, mB = 2 kg i mC= 3kg. Masy są położone początkowo (w chwili t=0) w punktach w przestrzeni mA: A= (1,2,1) mB: B=(3,2,1) mC: C = (0,0,1).
Na układ działa siła o wartości 5N skierowana wzdłuż osi y.
Proszę:
• obliczyć położenie środka masy tego układu.
• zapisać równanie ruchu (korzystając II zasady dynamiki) dla każdej współrzędnej
• znaleźć położenie środka masy układu w chwili t = 3 s

Answer 1

mA = 1 kg       A(1,2,1)

mB = 2 kg       B(3,2,1)

mC = 3 kg       C(0,0,1)

 

a) środek masy:

xo = (mA·xA + mB·xB + mC·xC)/(mA + mB + mC) =(1·1+2·3+3·0)/(1+2+3) = 7/6 m

yo = (mA·yA + mB·yB + mC·yC)/(mA + mB + mC) =(1·2+2·2+3·0)/(1+2+3) = 6/6 = 1 m

zo = (mA·zA + mB·zB + mC·zC)/(mA + mB + mC) =(1·1+2·1+3·1)/(1+2+3) = 6/6 = 1 m

 

SM(7/6 ,1 ,1)

 

b) nie jest podany punkt przyłożenia tej siły, więc zadanie nie jest jednoznaczne

 

W najprostszym przypadku można założyć, że siła jest przyłożona do środka masy układu, a punkty są ze sobą związane.

Wtedy F(0,5,0) , masa M = mA + mB + mC = 6 kg  i równanie ruchu:

M·a = F

Czyli dla poszczególnych współrzędnych:

M·ax = 0            M·ay = Fy                                M·az = 0

ax = 0               ay = Fy/M = 5/6 m/s²               az = 0

 

c) jeśli początkowe prędkości były zerowe, to

 

x = xo                y = yo + ay·t²/2                  z = zo

x = 7/6 m          y = 1 + 5/6·3²/2 = 4.75 m                  z = 1 m

 

SM' (7/6 , 4.75 , 1)