Question

Dany jest trójkąt ABC, gdzie:
A(-4; 1)

B(2; 3)

C(-1; -5)

a) Wyznacz równania prostych, które zawierają wysokość tego trójkąta

b) Wyznacz współrzędne punktów przecięcia tych wysokości

c) Oblicz sumę kwadratów odległości znalezionego punktu od wierzchołków trójkąta (To chyba tyczy się b, czyli żeby to zrobić musimy rozwiązać najpierw b)

Answer 1

równanie prostej AB: 1=-4a+b

                                3=2a+b

(prosta ma równanie y=ax+b i wstawiamy współrzędne punktów, otrzymujemy powyższy układ)

                              b=1+4a

                              3=2a+1+4a,    2=6a ,          a=1/3, to b=1+4*1/3=7/3

pr AB ma równanie: y=1/3x+7/3

 

równanie prostej BC:   3=2a+b

                                   -5=-a+b   to układ równań!!!

            mamy: b=3-2a

                       -5=-a+3-2a,    3a=8, a=8/3, b=3-2*8/3, b=3-16/3=-7/3

pr BC ma równanie: y=8/3x-7/3

 

równanie pr AC:     1=-4a+b

                             -5=-a+b  oczywiście układ równ.

mamy: b=1+4a

          -5=-a+1+4a, -6=3a, a=-2,  b=1+4*(-2)=-7

pr AC ma równanie: y=-2x-7

 

Teraz wysokości: oznaczamy:

wysokość poprowadzona z wierzchołka A pod kątem prostym na podstawę BC nazwijmy AA'

wysokość poprowadzona z wierzchołka B pod kątem prostym na podstawę AC nazwijmy BB'

wysokość poprowadzona z wierzchołka C pod kątem prostym na podstawę AC nazwijmy CC'

 

Wysokość AA': prosta, która zawiera tę wysokość jest prostopadła do prBC i przechodzi prze punkt A=(-4,1)

pr BC ma rówanie y=8/3x-7/3, więc pr AA": y= -3/8x+k (współczynnik przy x odwrotny i przeciwny), wyznaczamy k: do równania prostej wstawiamy współrzędne punktu A:

1=-3/8*(-4)+k

1=3/2+k, k=1-3/2, k=-1/2

więc pr AA' ma równanie: y=-3/8x-1/2

 

Wysokość BB': prosta, która zawiera tę wysokość jest prostopadła do prAC i przechodzi prze punkt B=(2,3)

prAC ma rówanie y=-2x-7, więc pr BB": y= 1/2x+k (współczynnik przy x odwrotny i przeciwny), wyznaczamy k: do równania prostej wstawiamy współrzędne punktu B:

3=1/2*2+k, k=3-1=2

więc pr BB' ma równanie: y=1/2x+2

 

Wysokość CC': prosta, która zawiera tę wysokość jest prostopadła do prAB i przechodzi prze punkt C=(-1,-5)

prAB ma rówanie y=1/3x+7/3, więc pr CC": y=-3x+k (współczynnik przy x odwrotny i przeciwny), wyznaczamy k: do równania prostej wstawiamy współrzędne punktu C

-5=-1*(-3)+k,   k=-8

więc pr CC' ma równanie:  y=-3x-8

 

 

b)przecinamy AA' z BB':   -3/8x-1/2=1/2x+2

                                   -3/8x-4/8x=2+1/2

                                       -7/8x=5/2

                                          x=-20/7, to y=-3/8*(-20/7)-1/2=15/14-7/14=8/14=4/7

punkt przecięcia się wysokości P=(-20/7,4/7)

 

c)odległość AP^2=(-20/7+4)^2+(4/7-1)^2=8/7^2+3/7^2=64/49+9/49=73/49

  odległość BP^2=analogicznie