Dany jest sześcian o krawędzi a. Podaj wartość funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tego trójkąt.... Question from @lucyna3009

September 2018 1 161 Report

Dany jest sześcian o krawędzi a. Podaj wartość funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tego trójkąta:
a) BDD'
b)DD'O, gdzie O jest środkiem odcinka BD.

potrzebne pilnieeeeeeeeeeeeeeeeeeee....................:(

Roma

a) ∢BDD'

Podany kąt BDD' to kąt prosty i pewnie nie o ten kąt chodzi tylko o DBD' lub o BD'D i dla tych kątów podam wartości funkcji trygonometrycznych.

ΔBDD' - trójkąt prostokątny

|α| = |∢DBD'|, czyli α to kąt między przekątną sześcianu a podstawą

|β| = |∢BD'D|, czyli β to kąt między przekątną sześcianu a krawędzią boczną

a = |DD'| - krawędź sześcianu

c =|BD| = a√2 - przekątna podstawy (kwadratu) sześcianu

d = |BD'| = a√3 - przekątna sześcianu

$sin\alpha = \frac{a}{d}$

$sin\alpha = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$cos\alpha = \frac{c}{d}$

$cos\alpha = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$tg\alpha = \frac{a}{c}$

$tg\alpha = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$ctg\alpha = \frac{c}{a}$

$ctg\alpha = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}$

$sin\beta= \frac{c}{d}$

$sin\beta = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$cos\beta = \frac{a}{d}$

$cos\beta = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$tg\beta = \frac{c}{a}$

$tg\beta = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}$

$ctg\beta = \frac{a}{c}$

$ctg\beta = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

b) ∢DD'O, gdzie O jest środkiem odcinka BD

$|\gamma| = |$

$a = |DD'|$

$x = |DO| = \frac{1}{2} \cdot |BD| = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$y = |D'O|$

Obliczymy y z tw. Pitagorasa

y² = x² + a²

$y^2 = (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 + a^2$

$y^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} + a^2$

$y^2 = \frac{a^2}{2} + \frac{2a^2}{2}$

$y^2 = \frac{3a^2}{2}$

$y = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

$sin\gamma = \frac{x}{y}$

$sin\gamma = \frac{a\sqrt{2}}{2} \ : \ \frac{a\sqrt{6}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{a\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} =$

$= \frac{\sqrt{3}}{3}$

$cos\gamma = \frac{a}{y}$

$cos\gamma = a \ : \ \frac{a\sqrt{6}}{2} = a \cdot \frac{2}{a\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$tg\gamma = \frac{x}{a}$

$tg\gamma = \frac{a\sqrt{2}}{2} \ : \ a = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$ctg\gamma = \frac{a}{x}$

$ctg\gamma = a \ : \ \frac{a\sqrt{2}}{2} = a \cdot \frac{2}{a\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$