Question

Dany jest okrąg o równaniu (x-1)^2+(x+3)^2=16 Sprawdź czy proste o równaniach x=-3 oraz y=1 są styczne do tego okręgu. bardzo proszę o pomoc :(

Answer 1

(x - 1)² + (x + 3)² = 16

To nie jest równanie okregu tylko równanie kwadratowe, bo

x² - 2x + 1 + x² + 6x + 9 - 16 = 0

2x² + 4x - 6 = 0

 

Równanie okregu o środku S = (a, b) i promienuy r: (x - a)² + (y - b)² = r²

 

Zatem chodzi pewnie o równanie: (x - 1)² + (y + 3)² = 16 i jest to równanie okręgu o środku S = (1; - 3) i promieniu r = 4

 

Sprawdzić czy dana prosta jest styczna do okręgu możemy na dwa sposoby:

 

I sposób

Prosta jest styczna do okręgu wtedy, gdy ma dokładnie jeden punkt wspólny z tym okręgiem.

 

Zatem wyznaczamy punkty wspólne okręgu i prostej.

 

x = - 3

(x - 1)² + (y + 3)² = 16

 

(-3 - 1)² + (y + 3)² = 16

(- 4)² + (y + 3)² = 16

16 + (y + 3)² = 16

(y + 3)² = 16 - 16

(y + 3)² = 0

y + 3 = 0

y = - 3

Prosta x = - 3 z okręgiem ma dokładnie jeden punkt wspólny (- 3, - 3), czyli jest styczna do okręgu.

 

y = 1

(x - 1)² + (y + 3)² = 16

 

(x - 1)² + (1 + 3)² = 16

(x - 1)² + 4² = 16

(x - 1)² + 16 = 16

(x - 1)² = 16 - 16

(x - 1)² = 0

x - 1 = 0

x = 1

Prosta y = 1 z okręgiem ma dokładnie jeden punkt wspólny (1, 1), czyli jest styczna do okręgu.

 

II sposób

Prostą nazwamy styczną do okręgu wtedy, gdy odległość środka okręgu od tej prostej równa jest promieniowi.

Odległość d punktu P = (a, b) od prostej o równaniu ogólnym Ax + By + C = 0 wyraża sie wzorem:

 

Zatem wyznaczamy środek i promień okręgu (x - 1)² + (y + 3)² = 16.

S = (1; - 3); r = 4

 

Obliczamy odległość  punktu S = (1; -3) prostej x = - 3, czyli od prostej x + 3 = 0

a = 1; b = - 3; A = 1; B = 0; C = 3

d = 4 = r, czyli odległość środka okręgu od prostej x = -3 jest równa promieniowi okręgu, zatem ta prosta jest styczna do okręgu.

 

Obliczamy odległość  punktu S = (1; -3) prostej y = 1, czyli od prostej y - 1 = 0

a = 1; b = - 3; A = 0; B = 1; C = -1

d = 4 = r, czyli odległość środka okręgu od prostej y = 1 jest równa promieniowi okręgu, zatem ta prosta jest styczna do okręgu.