Question

Dane są wielomiany: Q(x) = x³ - x² + 2 S(x) = -2x² - 2x - 2x + 4 a) Sprawdź czy liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu Q od x b) Znajdź wielomian P od x, który jest sumą wielomianu Q(x) S(x) rozłóż wielomian na czynniki liniowe. Dany jest wielomian W(x) W(x) = x³ - 5x² - 9x +45 a) Rozwiąż równanie W(x) = 0 b) Rozwiąż nierówność W(x) < 0

Answer 1

Dane są wielomiany: Q(x) = x³ - x² + 2 S(x) = -2x² - 2x - 2x + 4 a) Sprawdź czy liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu Q od x b) Znajdź wielomian P od x, który jest sumą wielomianu Q(x) S(x) rozłóż wielomian na czynniki liniowe.

 

Aby sprawdzic, czy liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu Q(x) naley w tym wielomianie w miejsce x podstawic liczbe 2. Jezeli Q(2) bedzie rowne zero, to liczba 2 jest pierwiastkiem tego wielomianu

 

Q(x) = x³ - x² + 2

Q(2) = 2³ -2² +2 = 8 -4 +2 = 6

Q(2)  >0 ( ≠ 0) ,wiec liczba 2 nie jest pierwiastkiem wielomianu Q(x)

 

b) Znajdź wielomian P od x, który jest sumą wielomianu Q(x) S(x)

Q(x) = x³ - x² + 2

S(x) = -2x² - 2x - 2x + 4

 

P(x) = Q(x) + S(x)

P(x) = x³ - x² + 2  -2x² - 2x - 2x + 4

P(x) = x³ - 3x²-2x +6

 

Rozkadam wielomian P(x) na czynniki liniowe

P(x) = x³ - 3x²-2x +6

P(x) = x² ( x -3) - 2(x -3)

P(x) = (x -3)( x² -2)

P(x) = (x-3)( x - √2)(x + √2)

 

 Dany jest wielomian W(x) W(x) = x³ - 5x² - 9x +45

a) Rozwiąż równanie W(x) = 0

 

W(x) = x³ - 5x² - 9x +45

W(x) = 0

x³ - 5x² - 9x +45 = 0

x²(x -5) -9( x -5) = 0

(x -5)( x² - 9) = 0

(x - 5)( x -3)( x+3) = 0

x - 5 = 0 lub x-3 = 0 lub x+3 = 0

x = 5 , lub   x = 3 ,  lub  x = -3

 

b) Rozwiąż nierówność W(x) < 0

W(x) = x³ - 5x² - 9x +45

W(x) <  0

x³ - 5x² - 9x +45 <  0

x²(x -5) -9( x -5) < 0

(x -5)( x² - 9) < 0

(x - 5)( x -3)( x+3) < 0

 

Pierwiastkami wielomianu sa ( rozpoczynajac od najmnieszej wartosci)

x = -3 , x =  3,   x = 5

Rysuje os OX i zaznaczam pierwiastki.

od prawej strony nad osia OX rysuje krzywa przechodzaca przez x = 5 (wykres idze pod osia ) i wykres (parabola) przechodzi przez x = 3 ( wykres idzie w gore i parabola  dalej przecina os Ox w punkcie x=-3

Zaznaczam przedzialy, dla ktorych nierownosc jest mniejsza od zera (te czesci wykresu ktore sa ponizej osi OX)

 

Ostatecznie x ∈ ( -∞ ; -3) v ( 3;  5 )