Question

Dane są równania prostych m oraz n. Określ ich wzajemne położenie. Odpowiedz uzasadnij.

a) m: 4x-5y+2=0; n: 3y+7=0

b) m: x-2y+4=0; n: y=3x+2

c) m: 3x-5y+1=0; n: 5x+3y-2=0

d) m: 2x-7y+5=0; n: -4x+14y+1=0

Answer 1

Na początku najlepiej będzie wyznaczyć postać kierunkową każdej prostej, czyli wyliczyć y.

A) m: 

n: 

Teraz ważne zasady:

Prosta ma równanie kierunkowej w postaci:

gdzie:

a - współczynnik kierunkowy prostej

b - współczynnik (wektor) przesunięcia

Jeśli nie mamy x to znaczy że wspólczynik kierunkowy prostej jest równy zero!

 

POSTULATY:

1) Jeśli wspólczynnik kierunkowy jednej prostej jest taki sam jak wspólczynnik kierunkowy drugiej prostej to proste te sa do siebie równoległe

2) Jeśli każda z prostych ma te same współczynniki (a oraz b) to proste się na siebie nakładają

3) Jeśli współczynnik kierunkowy pierwszej prostej () pomnożony przez współczynnik kierunkowy drugiej prostej dają liczbę -1 to proste te sa do siebie prostopadłe

4) Jeśli współczyniki kierunkowe prostych nie spełniają żadnego z powyższych postulatów to proste te przecinają się w punkcie którego współrzędne można wyznaczyć rozwiązując układ równań

 

Sprawdźmy teraz nasz pierwszy przypadek:

współczynnik kierunkowy pierwszej prostej wynosi  zaś drugiej prostej wynosi 0. W takim razie proste nie są równoległe  ani do siebie prostopadłe. Przecinają się jednak w punkcie:

Po odjęciu stronami mamy:

Teraz wyznaczamy y podstawiając x do pierwszego rownania:

Czyli proste przecinają się w punkcie:

Analogicznie robimy podpunkty b) c) d)