Question

Dane są punkty A(4,0) i B(8,2) oraz prosta l o równaniu x-y+1=0 wyznacz współrzędne takiego punktu P należącego do prostej l aby suma kwadrató odległości punktu P od punktów AiB była najmniejsza.

P.S. bardzo proszę o rozwiązanie z podaniem wzorów, będę bardzo wdzięczna za rozwiązanie! Pozdrawiam serdecznie

Answer 1

Oznaczenia:
A = (xA; yA)
B = (xB; yB)
P = (xP; yP)

^2 - do potęgi drugiej
pierw[wyrażenie] - pierwiastek stopnia drugiego z wyrażenia w nawiasie
/ - kreska ułamkowa

Przekształcamy równanie prostej l do postaci kierunkowej:
x - y + 1 = 0
y = x + 1

Ponieważ punkt P należy do tej prostej więc jego współrzędne można zapisać następująco:
P = (x; x+1)

Funkcja f(x) ma znajdować sumę kwadratów odległości punktu P od punktów A i B w zależności od x.

f(x) = |AP|^2 + |BP|^2

Odległość punktu P od punktu A:
|AP| = pierw[ (xP - xA)^2 + (yP - yA)^2 ]
|AP| = pierw[ (x - 4)^2 + (x + 1)^2 ]
|AP| = pierw[ x^2 - 8x + 16 + x^2 + 2x + 1 ]
|AP| = pierw[ 2x^2 - 6x + 17 ]
|AP|^2 = 2x^2 - 6x + 17

Odległość punktu P od punktu B:
|BP| = pierw[ (xP - xB)^2 + (yP - yB)^2 ]
|BP| = pierw[ (x - 8)^2 + (x - 1)^2 ]
|BP| = pierw[ x^2 - 16x + 64 + x^2 - 2x + 1 ]
|BP| = pierw[ 2x^2 - 18x + 65 ]
|BP|^2 = 2x^2 - 18x + 65

Podstawiamy do wzoru funkcji f:
f(x) = 2x^2 - 6x + 17 + 2x^2 - 18x + 65
f(x) = 4x^2 - 24x + 82

Wykresem funkcji f jest parabola o ramionach skierowanych do góry. Zatem najniżej położonym punktem wykresu jest jej wierzchołek W = (p; q). Zatem najmniejszą wartość q funkcja przyjmuje dla argumentu p.

p = (-b)/(2a)
p = 24/8
p = 3

Najmniejszą wartość funkcji uzyskamy dla x = 3. Wobec tego punkt P = (3; 4)

Najmniejsza wartość jest równa:
f(3) = 4*3^2 - 24*3 + 82 = 46