Question

DAM NAJ

Wykaż że różnica kwadratów dwóch DOWOLNYCH liczb nieparzystych jest podzielna przez 8.

Answer 1

2n + 1 , 2 m + 1   - liczby nieparzyste

n > m

Mamy

N = ( 2 n + 1)^2 - ( 2m  + 1)^2 = [4 n^2 + 4 n + 1 ] - [ 4 m^2 + 4 m + 1 ] =

= 4 n^2 - 4 m^2 + 4 n - 4 m  = 4*( n^2 - m^2) + 4*(n - m) =

= 4*( n - m)*( n + m) + 4*(n - m) = 4*( n - m) * ( n + m + 1 ]

Jeżeli n , m   są parzyste , to ich różnica jest liczba parzystą  i  wtedy  liczba N dzieli się  przez 4  i przez 2 czyli jest podzielna przez  8.

Jeżeli  n  jest parzysta , a m  jest nieparzsta, to liczba  n + m + 1 jest parzysta

i wtedy N jest podzielne przez  8.

Podobnie gdy n jest parzysta i  m  jest nieparzysta, to n + m + 1  jest parzysta

i wtedy  N  dzieli się przez 8.

Jeżeli n i m są nieparzyste to n - m jest liczbą parzystą i wtedy  liczba N  dzieli się przez 8.

ckd.

Answer 2

niech a=2(x+n) + 1 ;b=2x + 1 

x należy do  C

n należy do N+

 

a² -b² = (a-b)(a+b) =(( 2(x+n) + 1)-(2x + 1))(( 2(x+n) + 1)+(2x + 1))=

 

( 2(x+n) + 1-2x - 1)( 2(x+n) + 1+2x + 1)=( 2(x+n) -2x )( 2(x+n) + 2+2x )=

 

( 2x+2n -2x )( 2x+2n + 2+2x )=(2n)(4x+2n+2)= 8nx+4n²+4n= 8nx + 4n(n +1)

 

----------------

8nx   jest podzielne przez 8

(n+1) jest liczbą parzystą dodatnią, stąd :4n(n +1) jest także podzielne przez 8

dlatego 8nx+4n(n +1)   jest także podzielna przez  8