Question

Daję Naj !
1. Na ile sposobów może się ustawić w szeregu grupa 5 chłopców i 5 dziewcząt tak aby dwie osoby tej samej płci nie stały obok siebie? (reguła mnożenia)

2. Ile jest różnych liczb dwucyfrowych:
a) podzielnych przez 4 lub 7
b) większych od 40 lub podzielnych przez 8
c) podzielnych przez 2 lub 5 i niepodzielnych przez 6

Answer 1

Zadanie 1
Chłopiec stoi pierwszy i mamy ustawienie:
c,d,c,d,c,d,c,d,c,d czyli możliwości jest 5!*5!
lub
dziewczynka stoi pierwsza czyli:
d,c,d,c,d,c,d,c,d,c i znów mamy 5!*5! możliwości.
Pomiędzy możliwościami pojawiło się słówko 'lub' więc sumujemy możliwości:
5!*5! + 5!*5! = 2*5!*5!

zadanie 2
Tutaj należy posłużyć się ciągiem arytmetycznym coby policzyć ile mamy liczb podzielnych przez 4 i 7.
Liczby podzielne przez 4:
a₁ = 12
an = 96
r = 4
an = a₁ + (n-1)r
96 = 12 + (n-1)*4
n = 22

Liczby podzielne przez 7
a₁ = 14
an = 98
r = 7
98 = 14 + (n-1)*7
n = 13

Warto by zauważyć, że liczby 28; 56; 84 policzyliśmy 2 razy bo dzielą się jednocześnie przez 4 i 7

Liczb takich jest: 22+13-3 = 32

b)
Liczb większych od 40 jest 59
Liczb podzielnych przez 8 mamy:
a₁ = 16
an = 96
r = 8
96 = 16 + (n-1)*8
n = 11

Tutaj również liczymy kilka liczb dwa razy. Zobaczmy ile jest liczb większych od 40 i podzielnych przez 8
96 = 48 + (n-1)*8
n = 7

Zatem liczb większych od 40 lub podzielnych przez 8 jest:
59+11-7 = 63

c)
Wszystkich liczb dwucyfrowych jest 90. Połowa z nich jest parzysta więc mamy 45 liczb podzielnych przez 2.
Co piąta liczba jest podzielna przez 5 więc jest ich 90/5 = 18
Podzielnych przez 2 i 5 jest 9 (10;20;30...)
Zatem liczb podzielnych przez 5 lib 2 jest 45+18-9 = 54.
Nasze szukane liczby mają być podzielne przez 2 i 5 ale jednocześnie niepodzielne przez 6 więc musimy odrzucić te podzielne przez 6.
96 = 12 + (n-1)*6
n =  15

Reasumując: liczb takich jest 54-15 = 39