:D -----> załącznik.... Question from @Gimnazjalisteczka

December 2018 1 37 Report

:D -----> załącznik

MrPolygon Zad. 1. Założenia:

$x\geqslant0,y>0$ - żeby dały się spierwiastkować pierwiastkiem dowolnego naturalnego stopnia.
$y\neq0;\;\;9(xy)^\frac{2}{n}-y^\frac{2}{n}\neq0;\;\;3x^\frac{1}{n}+1\neq0$ - żeby nie było zer w mianownikach.

$\dfrac{3(xy)^\frac{1}{n}-y^\frac{1}{n}}{[3(xy)^\frac{1}{n}-y^\frac{1}{n}]\cdot[3(xy)^\frac{1}{n}+y^\frac{1}{n}]}\cdot\dfrac{y^\frac{1}{n}}{(3x^\frac{1}{n}+1)^{-2}}=\\\\{}\\\\=\dfrac{1}{3(xy)^\frac{1}{n}+y^\frac{1}{n}}\cdot\dfrac{y^\frac{1}{n}}{(3x^\frac{1}{n}+1)^{-2}}=\\\\{}\\\\=\dfrac{1}{y^\frac{1}{n}\cdot(3x^\frac{1}{n}+1)}\cdot\dfrac{y^\frac{1}{n}}{(3x^\frac{1}{n}+1)^{-2}}=$

$=\dfrac{1}{3x^\frac{1}{n}+1}\cdot\dfrac{1}{(3x^\frac{1}{n}+1)^{-2}}=\\\\{}\\\\=\dfrac{1}{3x^\frac{1}{n}+1}\cdot(3x^\frac{1}{n}+1)^{2}=\boxed{3x^\frac{1}{n}+1}\\\\{}\\\rule{10cm}{1pt}$

Zad. 2. $a^2+b^2=(a+b-c)^2$

Jeśli przekształcimy tę równość i zastosujemy wzór skróconego mnożenia, to otrzymamy:

$a^2=(a+b-c)^2-b^2=(a+2b-c)\cdot(a-c)\\\\b^2=(a+b-c)^2-a^2=(2a+b-c)\cdot(b-c)$

Postawiamy to do ułamka z lewej strony równości:

$\dfrac{a^2+(a-c)^2}{b^2+(b-c)^2}=\dfrac{(a+2b-c)\cdot(a-c)+(a-c)^2}{(2a+b-c)\cdot(b-c)+(b-c)^2}=\\\\{}\\\\=\dfrac{(a-c)\cdot(a+2b-c+a-c)}{(b-c)\cdot(2a+b-c+b-c)}=\dfrac{(a-c)\cdot(2a+2b-2c)}{(b-c)\cdot(2a+2b-2c)}=\dfrac{a-c}{b-c}\;\;\;\Box\\\\{}\\\rule{10cm}{1pt}$

Zad. 3. Dziedzina: $x\neq\frac{-d}{c}\quad\wedge\quad{}x\neq\frac{-b}{a}\quad\wedge\quad{}(ax+b)\cdot(cx+d)>0$

Dla uproszczenia obliczeń podstawmy:
$ax+b=p\\cx+d=q$

Wtedy:

$\sqrt{\dfrac{p}{q}}+\sqrt{\dfrac{q}{p}}=2\qquad/\!/()^2\\\\{}\\\\\dfrac{p}{q}+2\cdot\sqrt{\dfrac{p}{q}\cdot\dfrac{q}{p}}+\dfrac{q}{p}=4\\\\{}\\\\\dfrac{p}{q}+2+\dfrac{q}{p}=4\\\\{}\\\\\dfrac{p}{q}+\dfrac{q}{p}=2\\\\{}\\\\\dfrac{p^2+q^2}{pq}=2$

$p^2+q^2=2pq\\\\p^2-2pq+q^2=0\\\\(p-q)^2=0\\\\p-q=0\\\\p=q\\\\ax+b=cx+d\\\\ax-cx=d-b\\\\x(a-c)=d-b$

Mamy 3 możliwości:
a) jeśli a=c i d=b, to równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, $x\neq-1$ ,
b) jeśli a=c i d≠b, to równanie jest sprzeczne,
c) jeśli a≠c, to jest jedno rozwiązanie: $x=\frac{d-b}{a-c}$ .

$\rule{10cm}{1pt}$

Zad. 4.

p% - taki procent nie otrzymał świadectwa dojrzałości

$(100-p)\%\cdot50$ - tylu dostało świadectwo dojrzałości

tylu nie dostało się na uczelnie:
$(100-p)\%\cdot(100-p)\%\cdot50=32\\{}\\\\\left(\dfrac{100-p}{100}\right)^2=\dfrac{32}{50}\\{}\\\\\dfrac{(100-p)^2}{10000}=\dfrac{16}{25}\\{}\\\\(100-p)^2=\dfrac{16}{25}\cdot10000\\\\{}\\(100-p)^2=6400\\\\100-p=80\\\\p=20\\\\p\%\cdot50=20\%\cdot50=\frac{1}{5}\cdot50=10$

Odp. Dziesięciu uczniów nie otrzymało świadectwa dojrzałości.

$\rule{10cm}{1pt}$

Zad. 5. Z twierdzenia Pitagorasa wyliczamy, że drugi bok prostokąta ma:
$\sqrt{26^2-24^2}=\sqrt{100}=10$

Wg twierdzenia, że odcinki łączące wierzchołek kąta z punktami styczności mają równe długości, dostajemy (w załączniku):

$c=(a-r)+(b-r)\qquad\Rightarrow\qquad{}r=\dfrac{a+b-c}{2}=\dfrac{24+10-26}{2}=4$

Drugi rysunek w załączniku: odległość pomiędzy środkami okręgów jest przekątną prostokąta o bokach długości 2 i 16.

$d^2=2^2+16^2\\\\d^2=4+256\\\\d^2=260\\\\d=\sqrt{260}=2\sqrt{65}$

3 votes Thanks 1