Question

Dwa zadania z wielomianów, w załaczniku

Answer 1

Niech a=√x  , oczywiście x>0  i a>0

ma = m - a^2
a^2 + ma - m =0
delta = m^2 + 4m = m(m+4) -> dla m∈(-4,0) delta jest ujemna więc rozwiązań 0
dla m=0  lub m=-4 delta jest równa 0 i wychodzi:
a = 0+0/2 = 0 dla m=0 -> x=0  -> jedno rozwiązanie dla m=0
lub
a = 4+0/2 = 2  dla m=-4 -> x=4 -> jedno rozwiązanie dla m = -4
dla pozostałych m ( m∈(-∞,-4) U (0,∞)) delta jest dodatnia, więc mamy 2a spełniające równanie. Teraz trzeba zbadać które a są dodatnie.
ze wzorów Viete'a wynika, że:
a1 + a2 = -m
a1 * a2 = -m  
->dla m> 0 suma pierwiastków jest ujemna i iloczyn też -> jedno a jest dodatnie, a drugie ujemne -> jedno rozwiązanie dla m∈(0,∞)
-> dla m<0 suma pierwiastków jest dodatnia i iloczyn też -> oba a są dodatnie i różne
-> dwa rozwiązania dla m∈(-∞,-4) 

21.
żeby była określona dla całego R, to mianownik nie może nigdy "dotknąć" 0
->delta musi być ujemna
p^2 - 16 < 0 
(p-4)(p+4) < 0  -> p∈(-4,4)
miejscami zerowymi funkcji f(x) są pierwiastki licznika. Zatem, żeby były 2 różne pierwiastki to delta licznika musi być dodatnia:
p^2 - 4 >0
(p+2)(p-2) > 2  -> p∈(-∞,-2) U (2,∞)
-> zatem biorąc iloczyn tych zbiorów mamy: p∈(-4,-2) U (2,4)