Question

Czy w rownolegloboku dluzsza przekatna dzielaca kat ostry w stosunku 3:2 dzieli rowniez tak samo jego wysokosc.

Chodzi o zad: Kąt rozwarty równoległoboku ma miarę 105 stopni. Dłuższa przekątna AC dzieli kąt ostry równoległoboku w stosunku 3:2. Odległość wierzchołków B i D od przekątnej AC wynosi 5cm. Oblicz obówd równoległoboku.

Answer 1

Mamy równoległobok ABCD, w którym jest
kąt rozwarty ∢CDA = 105⁰
i kąt ostry ∢DAB = 180⁰- 105⁰= 75⁰, który został podzielony dłuższą przekątną AC na dwie części w stosunku 3:2 (5 części),
czyli mamy dwa kąty:∢DAC= ³/₅*∢DAB= ³/₅*75⁰= 45⁰
i ∢CAB= ⅖*∢DAB= ⅖*75⁰= 30⁰
Odległość wierzchołka B od przekątnej AC
oznaczamy IBEI= 5 cm
i odległość wierzchołka D od przekątnej AC
oznaczamy IDFI= 5 cm {odległości są odcinkami prostopadłymi}
I) Zatem mamy trójkąt prostokątny AFD o przyprostokątnych
AF i DF oraz przeciwprostokątnej AD, w którym
∢DAF =∢DAC= 45⁰ i bok IDFI= 5 cm
obliczamy długość przeciwprostokątnej AD (jeden bok równoległoboku) korzystając z proporcji trygonometrycznej
sin∢DAF= IDFI/IADI
sin 45⁰= 5cm/IADI
√2/2 = 5cm/IADI , stąd IADI= 10/√2 cm= 10√2/2cm= 5√2cm
II) Drugi trójkąt prostokątny AEB o przyprostokątnych
AE i BE oraz przeciwprostokątnej AB, w którym
∢EAB =∢CAB= 30⁰ i bok IBEI= 5 cm
obliczamy długość przeciwprostokątnej AB (drugi bok równoległoboku) korzystając z proporcji trygonometrycznej
sin∢EAB= IBEI/IABI
sin 30⁰= 5cm/IABI
½ = 5cm/IABI , stąd IABI= 5/½ cm= 5*2cm= 10cm
Korzystając z obliczonych boków równoległoboku
IADI= 5√2cm i IABI= 10cm mamy jego obwód:
L= 2*IADI+ 2*IABI = 2*5√2cm+ 2*10cm = 10√2cm+ 20cm=
10(√2+ 2)cm
Odp. Obwód równoległoboku jest równy 10(√2+ 2)cm.