Question

Czy mogę prosić o pomoc?
Dla jakich wartości parametru m (m należy do R) równanie:
x²-2(m-2)x + m² - 2m -3 =0
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste dodatnie

Answer 1

x²-2(m-2)x + m² - 2m -3 =0
Równanie ma 2 rózne pierwiastki dodatnie gdy:
1) Δ>0
2) x1+x2>0
3)x1*x2>0
Ad1
Δ = (-2(m-2))^2 - 4*1*(m^2-2m-3) = 4(m^2 - 4m + 4) - 4m^2 + 8m + 12 =
4m^2-16m+16 - 4m^2 + 8m + 12 = -8m + 28
-8m+28 >0
-8m > -28  |:(-8)
m < 3,5
m ∈ (-∞, 3,5)
Ad 2
x1 + x2 = -b/a     (ze wzorow Viete'a)
x1 + x2 = 2(m-2)/1 = 2m - 4
2m - 4 >0
2m > 4  |:2
m>2
m∈ (2 , +∞)
Ad 3
x1 *x2 = c/a
x1*x2 = (m^2-2m-3)/1 = m^2-2m-3
m^2 - 2m - 3 >0
Δ  = (-2)^2 - 4*1*(-3) = 4 + 12  = 16
√Δ = 4
m1 = (2-4)/2 = -1      m2 = (2+4)/2 = 3
m∈(-∞ , -1 ) ∨ (3 , +∞)

Część wspólna rozwiązań z wszystkich trzech warunków:
m ∈ (3 , 3,5)