Czy ktoś umiałby to rozwiązać? Poprawny wynik to +∞.... Question from @Makabrel

January 2019 1 27 Report

Czy ktoś umiałby to rozwiązać?
Poprawny wynik to +∞

NiedzielnyMatematyk Do czego doszłaś: $\lim_{x \to \infty} 2x (\sqrt{x-1} - \sqrt{x+5}) =$ $=\lim_{x \to \infty} 2x (\sqrt{x-1} - \sqrt{x+5})\cdot \frac{\sqrt{x-1} + \sqrt{x+5}}{\sqrt{x-1} + \sqrt{x+5}}= \\ = \lim_{x \to \infty} 2x \frac{x-1-x-5}{\sqrt{x-1} + \sqrt{x+5}}=$ $> Do tego momentu jest wszystko dobrze. Zgadza się, że oba nawiasy pod pierwiastkami dążą do 1. Jednak nie możesz do granicy na raty - musisz przejść do granicy ze wszystkim, nie możesz sobie wybrać, bo taki zabieg prowadzi do błędnych wyników. Na przykład weźmy <img src=$ . I co? Wnętrze pierwiastka dąży do zera, więc całość dąży do pierwiastka n-tego stopnia z zera, czyli do zera? No właśnie nie. Należy przejść do granicy ze wszystkim - to da Ci poprawny wynik, czyli 1. Bo co chcesz tak naprawdę zrobić? Masz ciąg i chcesz wyznaczyć liczbę, która będzie granicą ciągu. Nie ma czegoś takiego jak ciąg dążący do ciągu. A coś takiego chcesz napisać, przechodząc na raty do granicy. Co z tym Twoim zadaniem zrobić dalej? $\lim_{x \to \infty} \frac{-12x}{\sqrt{x(1- \frac{1}{x})} + \sqrt{x(1+ \frac{5}{x})}}= \lim_{x \to \infty} \frac{-12x}{\sqrt{x}\sqrt{(1- \frac{1}{x})} + \sqrt{x}\sqrt{(1+ \frac{5}{x})}}=$ $= \lim_{x \to \infty} \frac{-12 \sqrt{x} \sqrt{x} }{\sqrt{x}\big(\sqrt{(1- \frac{1}{x})} + \sqrt{(1+ \frac{5}{x})}\big)}= \lim_{x \to \infty} \frac{-12 \sqrt{x} }{\big(\sqrt{(1- \frac{1}{x})} + \sqrt{(1+ \frac{5}{x})}\big)}$ Z tej postaci już widać, jaka będzie granica. Granica ilorazu to iloraz granic, mamy zatem: $\lim_{x \to \infty} \frac{-12 \sqrt{x} }{\big(\sqrt{(1- \frac{1}{x})} + \sqrt{(1+ \frac{5}{x})}\big)}= \frac{-12 \cdot \infty}{1+1} = -6 \cdot \infty = -\infty$ I tyle. To jest poprawny wynik na pewno - żeby Cię przekonać, mogę zasugerować Ci sprawdzenie, jak wygląda wykres funkcji $f(x)=2x( \sqrt{x-1} - \sqrt{x+5})$ . Wtedy zobaczysz, że dla $x \rightarrow \infty$ wartości funkcji dążą do $- \infty$ . To oczywiście żaden dowód, ale może zobrazuje Ci, dlaczego to rozwiązanie jest poprawne, a odpowiedź sugerowana przez autora jest błędna.

1 votes Thanks 1