Cześć proszę o pomoc.
Odcinek AB o końcach A(-2,-1) i B (2,3) jest podstawą trójkąta ABC. Wieszchołek C należy do wykresu funkcji . Wyznacz współżędne punktu C, tak aby pole trójkąta ABC było najmniejsze.
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
A = ( -2; -1) , B = ( 2; 3)
C - leży na paraboli o równaniu : f(x) = x^2 + 6 x + 10
inaczej zapisane
y = x^2 + 6 x + 10
Wyznaczam prostą AB:
y = a x + b
-1 = -2 a + b
3 = 2a + b
----------------- dodaję stronami
2 + 2 b
b = 1
=====
2a + 1 = 3
2a = 2
a = 1
=====
pr. AB ma równanie: y = x + 1
===============================
Pole trójkąta ABC będzie najmniejsze, gdy jego wysokość będzie najmniejsza.
Punkt C musi leżeć na prostej równoległej do pr AB , która jest styczna do
paraboli.
Jest to prosta postaci :
y = x + b
Trzeba wyznaczyć b
Mamy :
y = x + b
y = x^2 + 6x + 10
----------------------
zatem
x^2 + 6x + 10 = x + b
x^2 + 5x + 10 - b = 0
--------------------------
delta = 5^2 - 4*1*( 10 - b) = 25 - 40 + 4 b = 4 b - 15
Aby prosta z parabolą miała jeden punkt wspólny musi być jedno rozwiązanie ,
czyli delta musi być równa 0.
Mamy więc
4 b - 15 = 0
4 b = 15
b = 15/4 = 3,75
--------------------
Prosta styczna ma równanie:
y = x + 3,75
==============
Wyznaczmy ten punkt styczności:
x^2 + 6x + 10 = x + 3,75
x^2 + 5 x + 6,25 = 0
--------------------------
delta = 5^2 - 4*1*6,25 = 25 - 25 = 0
x = - 5/2 = - 2,5
y = -2,5 + 3,75 = 1,25
Odp.
C = ( -2,5 ; 1,25)
===================
Dodatkowo można obliczyć, że to najmniejsze pole trójkąta jest równe:
P = 5,5
============