Cuál es el cos(4x)=?? Necesito su resultado en función de SenX y el otro resultado en función de Cos.... Question from @chuchog1

October 2018 1 31 Report

Cuál es el cos(4x)=?? Necesito su resultado en función de SenX y el otro resultado en función de CosX

MorgannaK Para la suma de cosas que están dentro del argumento del seno y el coseno, se cumplen las siguientes propiedades:

$cos( \alpha + \beta )=cos( \alpha )cos( \beta )-sen( \alpha )sen( \beta ) \\ \\ 
sen( \alpha + \beta )=cos( \alpha )sen( \beta )+cos( \beta )sen( \alpha )
$

Cuando los ángulos son iguales, las propiedades quedan de la siguiente manera:

$cos( \alpha + \alpha )=cos( \alpha )cos( \alpha )-sen( \alpha )sen( \alpha ) \\ \\ sen( \alpha + \alpha )=cos( \alpha )sen( \alpha )+cos( \alpha )sen( \alpha )$

Es decir

$cos(2 \alpha )=cos ^{2} ( \alpha )-sen ^{2} ( \alpha ) \\ \\ sen(2 \alpha )=2cos( \alpha )sen( \alpha )$

Podes aplicar la propiedad de los cosenos de la siguiente manera:

$cos(4 \alpha )=cos( 2\alpha +2 \alpha )=cos( 2\alpha )cos( 2\alpha )-sen(2 \alpha )sen(2 \alpha ) \\ cos(4 \alpha )= cos^{2} (2 \alpha )-sen^{2} (2 \alpha )$

Como piden en función de senos y cosenos, uso las propiedades

$cos(4 \alpha )= [cos ^{2} ( \alpha )-sen ^{2} ( \alpha )]^{2} -[2cos( \alpha )sen( \alpha )]^{2}$

Distribuyo

$cos(4 \alpha )= cos ^{4}( \alpha ) -2cos ^{2}( \alpha )sen ^{2}( \alpha )+sen ^{4}( \alpha ) -[4cos ^{2}( \alpha )sen^{2}( \alpha ) ] \\ \\ 
cos(4 \alpha )= cos ^{4}( \alpha ) -6cos ^{2}( \alpha )sen ^{2}( \alpha )+sen ^{4}( \alpha )$

Luego usas la identidad para el seno y el coseno cuadrado que dice que

$cos ^{2} ( \alpha )+sen ^{2} ( \alpha )=1$

Para escribir todo en función de senos o todo en función de cosenos

En función de senos:

$cos(4 \alpha )= (1-sen ^{2}( \alpha ) )^{2}-6(1-sen ^{2}( \alpha ))sen ^{2}( \alpha )+sen ^{4}( \alpha ) 
$

En función de cosenos

$cos(4 \alpha )= cos ^{4}( \alpha ) -6cos ^{2}( \alpha )(1-cos ^{2}( \alpha ))+(1-cos ^{2}( \alpha )) ^{2}$

*No escribo en la variable x, pero es lo mismo

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