Czy można wyznaczyć Sinusa/Cosinusa znając jedynie Tangens i Cotangens ?.... Question from @Riw

unicorn05 Powiedzmy, że tgα = A

Z "jedynki" trygonometrycznej mamy: $sin^2\alpha+cos^2\alpha =1$

czyli:
   $sin^2\alpha=1-cos^2\alpha\\\\cos^2\alpha=1-sin^2\alpha$

Druga tożsamość to:    $tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}$

czyli:    $tg^2\alpha=\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}$

Stąd:
      $A^2=\frac{sin^2\alpha}{1-sin^2\alpha}\ \ \ /\cdot(1-sin^2\alpha)\\\\A^2-A^2sin^2\alpha=sin^2\alpha\\\\sin^2\alpha+A^2sin^2\alpha=A^2\\\\sin^2\alpha(1+A^2)=A^2\ \ \ /:(1+A^2)\\\\ sin^2\alpha=\frac {A^2}{1+A^2}\\\\sin\alpha=\sqrt{\frac {A^2}{1+A^2}}$

Czyli:    $sin\alpha=\sqrt{\frac {tg^2\alpha}{1+tg^2\alpha}}$

I cosinus:
      $A^2=\frac{1-cos^2\alpha}{cos^2\alpha}\ \ \ /\cdot cos^2\alpha\\\\A^2cos^2\alpha=1-cos^2\alpha\\\\A^2cos^2\alpha+cos^2\alpha=1\\\\cos^2\alpha(A^2+1)=1\ \ \ /:(1+A^2)\\\\ cos^2\alpha=\frac 1{1+A^2}\\\\cos\alpha=\sqrt{\frac 1{1+A^2}}\\\\cos\alpha=\sqrt{\frac 1{1+tg^2\alpha}}$


w ten sam sposób wyprowadzamy sin i cos z ctg

$sin\alpha=\sqrt{\frac 1{1+ctg^2\alpha}}$

$cos\alpha=\sqrt{\frac {ctg^2\alpha}{1+ctg^2\alpha}}$

1 votes Thanks 1

DreamIT Tak

Obliczasz to z Jedynki Trygonometrycznej :

Dla każdego kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym zachodzi
równanie :

sin²α+cos²α=1

----------------------------------------------------------------------------------------------

W ten sposób obliczysz sinusy i cosinusy

1 narysu trójkąt prostokątny, krótsza przyprostokątną oznacz jako a, dłuższa b, przeciwprostokątną oznacz c

2 .Zapamiętaj sobie , że mniejszy kąt ostry leży zawsze naprzeciw krótszej przyprostokątnej

3 mniejszy kąt α(alfa), a ten drugi ostry kąt nazwij β(beta)

sinusem nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącą naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej

sin α=a/c

sin β= b/c

cosinus natomiast to stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie $\alpha$ do przeciwprostokątnej

cosα=b/c
cos β=a/c

tg (tangens) to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do drugiej przyprostokątnej .

tg α=a/b
tgβ=b/a

A Cotangens (ctg) a to jest odwrotność tangensa

ctgα=b/a

ctgβ=a/b

Wzory :

tg=sin/cos

ctg=cos/sin

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0⁰ , 30⁰ , 45⁰ , 60⁰ , 90⁰

Odczytujemy z tabelki ,funkcji trygonometrycznych

Przykład :

Jeżeli masz obliczyć sinus i cosinus , a znasz tg i ctg

To :

Korzystasz ze wzoru :

tg=sin/cos

i podstawiasz swoje dane czyli tg $\alpha$ = 4

4=sin $\alpha$ /cos $\alpha$

A teraz podstawiasz do 2 wzoru :
sin²α+cos²α=1 --> Jedynka trygonometryczna

A ctg = np 8
i liczysz , to samo z ctg

Podstawiasz
ctg=cos/sin znasz wartość podstawiasz i wyliczasz ...

8=cos/sin i znowu
sin²α+cos²α=1

0 votes Thanks 1

Przygotuj budżet konkretnego przedsięwzięcia z życia ucznia/klasy

Przeczytaj tekst św. Pawła Hymn o miłości z I listu do Koryntian i napisz wypowiedź na temat: Co to znaczy, że Bóg jest miłością, że miłość jest potężniejsza niż śmierć, że zło można zwyciężać dobro Praca na formacie A4, od 1 do 5 stron, może być napisana na komputerze.

1. Nazwij rodzaj wiązań, podaj nazwy powstałych jonów lub wskaż wiążące i niewiążące pary elektronowe w graficznej ilustracji tworzenia wiązań chemicznych pomiędzy: a) atomami wodoru b) atomami sodu i chloru c) atomami wodoru i chloru

Czy są jakieś dowody na to,że Hitler nie wiedział o holokauście?Jeśli tak to wymień.Jeśli nie to uzasadnij

Untuk Memindahkan Batu digunakan pengungkit dengan panjang 3m. Titik tumpu diletakkan 50cm dekat beban yang beratnya 50N. Hitunglah : a.Gaya Minimal Yang diperlukan untuk mengangkat batu b.Keuntungan Mekanik Sama Caranya...

Tipe Persendian Yang terdapat pada rahang adalah...

Pada seekor burung,saat terbang di udara,gerakan burung tersebut dapat dijelaskan dengan hukum ketiga newton,yaitu dengan cara memanfaatkan sifat aliran udara. perbandingan besarnya gaya aksi dan reaksi antara burung dengan udara yang benar adalah...

Berilah 4 contoh sikap menghargai keberagaman norma dan kebiasaan di berbagai lingkungan masyarakat

Diketahui fungsi f:x ->f(x) dengan rumus fungsi f(x) =ax-b jika f(1)=-2 dan (2)=1 .nilai a-b...

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social