Queremos calcular la integral de una fracción de polinomios (fracción con polinomios en el numerador y en el denominador).
Supongamos que tenemos la integral
∫P(x)Q(x)dx∫P(x)Q(x)dx
donde P(x) y Q(x) son los polinomios del numerador y denominador, respectivamente.
Distinguimos los siguientes casos:
grado( P )≥ grado( Q ): efectuamos la división de los polinomios.grado( P ) < grado( Q ):En este caso, aplicaremos el Teorema Fundamental del Álgebra. Subcasos:Caso a: Todas las raíces de Q son realesCaso b: NO todas las raíces de Q son reales1. grado de P mayor o igual que el de Q
Antes de efectuar la división de polinomios tenemos que factorizar los polinomios del numerador y denominador (expresarlos como productos de (x - raíz) ) porque si tenemos algún mismo factor en el numerador y denominador podemos quitarlos (simplificar).
Si tenemos la integral
∫P(x)Q(x)dx∫P(x)Q(x)dx
Al efectuar la división tendremos que
P(x)=Q(x)⋅C(x)+R(x)P(x)=Q(x)⋅C(x)+R(x)
siendo C(x) el polinomio cociente y R(x) el polinomio resto de la división.
Si dividimos la expresión por Q(x) obtenemos
P(x)Q(x)=C(x)+R(x)Q(x)P(x)Q(x)=C(x)+R(x)Q(x)
De este modo, aplicando las propiedades de las integrales, habremos descompuesto la integral en la suma de dos integrales:
∫P(x)Q(x)dx=∫C(x)dx+∫R(x)Q(x)dx∫P(x)Q(x)dx=∫C(x)dx+∫R(x)Q(x)dx2. grado de P menor que el de QCaso (a): todas las raíces de Q son reales
Podemos factorizar Q y escribirlo como
donde cada ai son las raíces (reales) de Q y ki es el grado de multiplicidad de la ráiz ai , esto es, el número de veces que se repite la raíz.
Para la descomposición usaremos, habitualmente, Ruffini.
Según el teorema fundamental del álgebra, podemos expresar el cociente P(x)/Q(x)como una suma de cocientes a los que denominamos fracciones simples.
donde los términos bij son reales y cuyos valores desconocemos. Tendremos que buscarlos dando valores a x.
Caso (b): NO todas las raíces de Q son reales
Factorizamos (usando Ruffini si es necesario) el denominador, Q. Y obtenemos una expresión como la siguiente
donde ai son las raíces reales de Q con multiplicidades ki y αj + iβj son las complejas con multiplicidades qj. Nótese que si un complejo, α + iβ, es raíz de un polinomio, entonces, su conjugado, α - iβ, también; y, además, tienen la misma multiplicidad.
Por el teorema fundamental del álgebra, podemos escribir el cociente P(x)/Q(x) como
donde mij y nij son constantes reales que desconocemos y nótese que no existe relación entre mij y qm aunque hayamos utilizado en ambas la letra m.
Y donde R(x) es la suma de fracciones simples asociada a las raíces reales que ya sabemos escribir (caso anterior) y que hemos omitido para facilitar la notación. Podemos observar que el procedimiento es el mismo, pero ahora las fracciones simples asociadas a las raíces complejas tienen otra forma.
Calculamos las constantes mij y nij. Para ello, multiplicamos la igualdad anterior por la factorización de Q y damos varios valores a x para obtener un sistema lineal de ecuaciones que determinará las constantes. Cuando las tengamos, podremos expresar la integral como suma de integrales
Queremos calcular la integral de una fracción de polinomios (fracción con polinomios en el numerador y en el denominador).
Supongamos que tenemos la integral
∫P(x)Q(x)dx∫P(x)Q(x)dx
donde P(x) y Q(x) son los polinomios del numerador y denominador, respectivamente.
Distinguimos los siguientes casos:
grado( P )≥ grado( Q ): efectuamos la división de los polinomios.grado( P ) < grado( Q ):En este caso, aplicaremos el Teorema Fundamental del Álgebra. Subcasos:Caso a: Todas las raíces de Q son realesCaso b: NO todas las raíces de Q son reales1. grado de P mayor o igual que el de QAntes de efectuar la división de polinomios tenemos que factorizar los polinomios del numerador y denominador (expresarlos como productos de (x - raíz) ) porque si tenemos algún mismo factor en el numerador y denominador podemos quitarlos (simplificar).
Si tenemos la integral
∫P(x)Q(x)dx∫P(x)Q(x)dxAl efectuar la división tendremos que
P(x)=Q(x)⋅C(x)+R(x)P(x)=Q(x)⋅C(x)+R(x)siendo C(x) el polinomio cociente y R(x) el polinomio resto de la división.
Si dividimos la expresión por Q(x) obtenemos
P(x)Q(x)=C(x)+R(x)Q(x)P(x)Q(x)=C(x)+R(x)Q(x)De este modo, aplicando las propiedades de las integrales, habremos descompuesto la integral en la suma de dos integrales:
∫P(x)Q(x)dx=∫C(x)dx+∫R(x)Q(x)dx∫P(x)Q(x)dx=∫C(x)dx+∫R(x)Q(x)dx2. grado de P menor que el de QCaso (a): todas las raíces de Q son realesPodemos factorizar Q y escribirlo como
donde cada ai son las raíces (reales) de Q y ki es el grado de multiplicidad de la ráiz ai , esto es, el número de veces que se repite la raíz.
Para la descomposición usaremos, habitualmente, Ruffini.
Según el teorema fundamental del álgebra, podemos expresar el cociente P(x)/Q(x)como una suma de cocientes a los que denominamos fracciones simples.
donde los términos bij son reales y cuyos valores desconocemos. Tendremos que buscarlos dando valores a x.
Caso (b): NO todas las raíces de Q son realesFactorizamos (usando Ruffini si es necesario) el denominador, Q. Y obtenemos una expresión como la siguiente
donde ai son las raíces reales de Q con multiplicidades ki y αj + iβj son las complejas con multiplicidades qj. Nótese que si un complejo, α + iβ, es raíz de un polinomio, entonces, su conjugado, α - iβ, también; y, además, tienen la misma multiplicidad.
Por el teorema fundamental del álgebra, podemos escribir el cociente P(x)/Q(x) como
donde mij y nij son constantes reales que desconocemos y nótese que no existe relación entre mij y qm aunque hayamos utilizado en ambas la letra m.
Y donde R(x) es la suma de fracciones simples asociada a las raíces reales que ya sabemos escribir (caso anterior) y que hemos omitido para facilitar la notación. Podemos observar que el procedimiento es el mismo, pero ahora las fracciones simples asociadas a las raíces complejas tienen otra forma.
Calculamos las constantes mij y nij. Para ello, multiplicamos la igualdad anterior por la factorización de Q y damos varios valores a x para obtener un sistema lineal de ecuaciones que determinará las constantes. Cuando las tengamos, podremos expresar la integral como suma de integrales