Question

CIĄGI

Miary kolejnych kątów wielokąta wypukłego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy r=10˚ . Najmniejszy kąt tego wielokąta ma miarę 100˚. Ile boków ma ten wielokąt?

Answer 1

niech αn będą kątami wewnętrznymi wielokąta, a βn - kątami zewnętrznymi wielokąta

"Suma miar kątów zewnętrznych każdego wielokąta wypukłego jest równa 360°... Kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego to kąt przyległy do kąta wewnętrznego."

Stąd:

360⁰=2αn+2βn

a₁=100⁰=α₁

360⁰=200⁰+2β₁

160⁰=2β₁ |:2

β₁=80⁰

Ponieważ różnica ciągu wynosi 10⁰, każdy wyraz rośnie o 10⁰. Po obliczeniach można zauważyć że razem z kątem zewnętrznym maleje kąt wewnętrzny o 10⁰, więc:

β₂=70⁰

β₃=60⁰

β₄=50⁰ itd.

Możemy to zapisać za pomocą ciągu arytmetycznego:

b₁=80⁰ r=-10

Chcemy uzyskać sumę kątów βn równą 360⁰

Sn=[2b₁+(n-1)*r]/2*n

360⁰=[2*80⁰+(n-1)*(-10)]/2*n |*2

720⁰=[160⁰-10n+10]*n

720⁰=-10n²+170n

-10n²+170n-720=0

Δ=28900-28800=100

√Δ=10

n₁=(-170-10)/-20=9

n₂=(-170+10)/-20=8

Wyjdzie n=8, ponieważ S₈=360⁰, a 9 wyraz ciągu równałby się β=0⁰, a α=180⁰(linia prosta):

s₈=(80⁰+β₈)/2*8

β₈=10⁰

S₈=(80⁰+10⁰)/2*8

S₈=45⁰*8

S₈=360⁰

 

Starałem się w miarę wytłumaczyć, pierwszy raz się z tym spotkałem, więc mogłem się pomylić.