Question

CIĄGI ARYTMETYCZNE

1.Karolina pierwszego dnia przeczytała 15 stron ksiązki, a każdego następnego dnia o 3 strony więcej. Ile przeczytała piątego dnia ? Ile stron ksiązki miała przeczytane po tygodniu ?

2.Wykaż, że przedstawione w podanej kolejności liczby tworzą ciąg arytmetyczny √2 - 1 , 1 kreska ułamkowa √2 - 1 , √2+3

3.Oblicz sumę wszystkich nieparzystych liczb naturalnych mniejszych od 270.

Answer 1

1) a₁= 15,   r= 3,  a₅=?   S₇=?

    Korzystamy ze wzoru:   a n = a₁ + (n-1)·r

     a₅= a₁+4r = 15+4·3 = 15+12= 27

    Sn = (a₁+an)/2 · n

    S₇ = (a₁+a₇)/2 · 7

   a₇ = a₁+6r = 15+6·3 = 15+18 = 33

  Czyli    S₇ = (15+33)/2 · 7 = 48/2 · 7 = 24·7 = 168

   Odp. Piątego dnia Karolina przeczytała 27 stron, a po tygodniu miała przeczytane 168 stron.

2) (√2 -1, 1/(√2 -1), √2 +3)  -  jest to ciąg arytmetyczny, jeśli spełniona będzie własność:      a₂ = (a₁+a₃)/2

Czyli:   L= 1/(√2 - 1) = (√2+1)/[(√2-1)(√2+1)] = (√2+1)/(2-1) = √2+1

           P = (√2-1 + √2+3)/2 = (2√2+2)/2 = √2+1

          L = P,  czyli własność ciągu arytmetycznego jest spełniona, zatem jest to ciąg arytmetyczny.       Cnd.

3)  Obliczyć należy sumę ciągu:   1,3,5,7,..., 269.

     Jest to ciąg arytmetyczny, w którym:  a₁=1,  r= 2,  n= 270:2= 135,  a₁₃₅ = 269.

     S₁₃₅= (a₁+a₁₃₅)/2 · 135 = (1+269)/2 · 135 = 270/2 ·135 = 135·135 = 18225

 

Answer 2

1]

a₁=15

a₂=15+3=18

r=3

a₅=a₁+4r=15+4*3=27 przeczytala piatego dnia

a₇=a₁+6r=15+6*3=33

S₇=½(15+33)*7=168stron przeczytała po tygodniu

2]

1/(√2-1)=½(√2-1+√2+3)

2=(√2-1)(2√2+2)

2=4+2√2-2√2-2

2=2

tworza ciag arytmetyczny bo wyraz srodkowy jest srednia arytmertyczna wyrazów skrajnych

3]

a₁=1

a₂=3

r=2

an=269

269=1+(n-1)2

2n-2=269-1

2n=268+2

n=135

S₁₃₅=½(1+269)*135=18225