Question

CIĄGI ARYTMETYCZNE I GEOMETRYCZNE

13 i 19 już mam

Zadania podaję w załączniku, ponieważ nie ma w tych symbolach matematycznych niektórych potrzebnych wyrażeń.

Jest to 6 zadań, ważne, aby było wypisane jak obliczyć.

Z góry dziękuję :*

Answer 1

Zad.13.
a1 = 5
a3 = -1
r = ?

korzystam ze wzoru na środkowy wyraz ciągu 3 wyrazowego

a2 = (a1 + a3) :2
a2 = [5 + (-1)] :2
a2 = 4 :2 = 2
a2 = 2

r = a2-a1
r = 2 - 5
r = -3
zad.14.
Aby sprawdziść który z ciągów jest geometryczny należy obliczyć iloraz q ,który musi być liczbą
Obliczam więc wyraz następny i obliczam iloraz q
an= (n +1)²
a(n+1) = ( n+1 +1)² = (n+2)²

q = [a(n+1)] : (an)
q = (n+2)² :(n+1)²
q nie jest liczba bo zależy od n ,więc ciąg ten nie jest ciagiem geometrycznym

bn = (1/3)do potęgi n
b(n +1)= (1/3)do potegi (n+1)

q = [b(n+1)] : bn

q = [(1/3)do potegi n*1/3] : (1/3) do potegi n
q = 1/3

q jest liczbą, więc ciąg bn = (1/3) do potegi n jest geometrycznym ciągiem

cn = 5n -3
c(n+1) = 5(n+1) -3 = 5n +5 -3 = 5n +2

q = (5n+2) : (5n-3)
q nie jest liczbą , q zależy od n , więc ciag cn = 5n-3 nie jest ciagiem geometrycznym

dn = n : (n+1)
d(n+1) = (n+1) : ( n+1+1) = (n+1) : ( n +2)

q = [(n+1) : ( n +2)] : [n : (n+1)]
q = [ n+1) : ( n +2)] * [(n+1) : n]
q = (n+1)² : [n(n +2)]
q nie jest liczbą ,q zależy od n , więc ciag dn = n : (n+1) nie jest ciagiem geometrycznym

Zad.15
a6 = 0
a6 = a1 + 5r = 0
a1 + 5r = 0
a1 = -5r
a11 = a1 + 10r
a11 = -5r + 10r = 5r

S11 = (a1 + a11):2* 11
S11= (-5r + 5r):2 *11
S11 = 0 :2 *11
S11 = 0 (odp. C)

Zad.16.
Który z ponizszych ciagów jest rosnący

Aby zbadać który ciag jest rosnący to należy obliczyc wyraz następny (n+1) i sprawdzić czy r jest dodatnie lub q jest dodatnie
A) an = 3/5n +1
a(n+1) = 3/5(n+1) = 3/5n +3/5 + 5/5 = 3/5n + 8/5

r = a(n+1) - an = 3/5n +8/5 -(3/5n +1) = 3/5n + 8/5 -3/5n -1= 8/5 -5/5 = 3/5
r = 3/5
r > 0, to ciąg jest rosnacy

B) bn = -7 +2n
b(n+1) = -7 +2(n+1) = -7 +2n +2 = 2n -5
r = b(n+1) - bn = 2n-5 -( -7 +2n) = 2n -5 +7 -2n = 2
r =2
r > 0 , to ciąg jest rosnący

C) cn = (1/2)do potęgi n
c(n+1) = (1/2)[do potęgi( n+1)] = 1/2*1/2( do potegi n)
q = [ c(n+1) ] : [ cn]
q = 1/2*1/2( do potęgi n) : 1/2( do potęgi n)
q = 1/2
q jest ułamkiem więc dla ciągu geometrycznego przy q = 1/2 ciag cn = (1/2) do potegi n jest malejacy

D) dn = -4 do potęgi n
d(n+1) = -4( do potęgi n+1) = -4*4 do potęgi n
q = [d(n+1) ] : (dn) = [-4*4 do potęgi n ] : [-4 do potęgi n]
q = 4
ciag geometryczny jest rosnący

Zad. 17.
Liczby 1, 2a +2 , a + 6 tworzą ciąg arytmetyczny dla :
A) a = 0
B) a = 1
C) a = 4
D) a = 3
Korzystam ze wzoru na srodkowy wyraz 3-wyrazowego ciągu arytmetycznego
a1= 1
a2 = 2a +2
a3 = a +6

a2 = (a1 + a3):2
(2a+2) = (1 + a + 6) : 2
(2a +2 ) = (7 + a) :2 /*2
2(2a+2) = 7 +a
4a + 4 = 7 +a
4a -a = 7 -4
3a = 3
a = 1

Dla a = 1 ( odp.B) ciąg jest arytmetyczny

zad. 18.
Liczba dodatnich wyrazów ciagu an = 1 - 1/4n jest równa :
A) 2, B) 3, C) 4 , D) 5

an = 1 -1/4n
a(n+1) = 1 - 1/4(n +1) = 1 -1/4n -1/4 = 3/4 -1/4n

r = a(n+1) - an = 3/4 -1/4n - (1 -1/4n) = 3/4 -1/4n -1 + 1/4n= 3/4 -1 = -1/4
r = -1/4
a1 = 1 - 1/4*1 = 1 - 1/4 = 3/4
a2 = a1 + r = 3/4 + (-1/4) = 3/4 -1/4 = 2/4 = 1/2
a3 = a1 +2r = 3/4 + 2*(-1/4) = 3/4 - 2/4= 1/4
a4 = a1 + 3r = 3/4 + 3*(-1/4) = 3/4 - 3/4 = 0
a5 = a1 + 4r = 3/4 + 4*(-1/4) = 3/4 - 1 = -1/4
i pozostałe wyrazy ciagu sa ujemne, bo r jest ujemne
tylko
wyrazy a1, a2, a3 są dodatnie, a4 = 0

Zad.19.
Piaty wyraz ciagu an = [1-3(do potęgi n)] : [ 1-3] jest równy:
A) -121, B) 16, C) 81, D)121

an = [1-3(do potęgi n)] : [ 1-3]
a5 = [ 1 - 3⁵] : (-2)
a5 = [1 - 243] : (-2)
a5 = (-242) :(-2)
a5 = 121 ( odp. D)

Zad. 20.
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an = (n +15) :n.
Liczba 1,6 jest wyrazem ciągu(an) o numerze:
A) 1, B) 20, C) 25, D)Liczba 1,6 nie jest wyrazem ciągu (an)

an = (n +15) :n
(n +15) :n = 1,6 /*n≠ 0
n + 15 = 1,6 n
n -1,6n = -15
-0,6n = -15
n = (-15) : (-0,6)
n = 25 ( odp. C)