Buktikan bahwa n²(n+1)² habis dibagi 4 untuk setiap n ∈ A bilangan asli ! (materi induksi sma xii).... Question from @Amelianni

October 2018 1 544 Report

Buktikan bahwa n²(n+1)² habis dibagi 4 untuk setiap n ∈ A bilangan asli ! (materi induksi sma xii)

naufik Pada konsepnya induksi hanya bisa membuktikan untuk tiap bilangan bulat (bukan bilangan asli), maka saya akan anggap soalnya meminta itu.

Buktikan untuk n = 0:
$P_1: 0^2(0+1)^2 = 4 \times p, \ \forall p \in \mathbb{Z} \\
0 = 4\times0
$

Bisa dilihat bahwa saat n = 0, $n^2(n+1)^2$ habis dibagi 4.

Asumsikan bahwa:
$P_k =k^2(k+1)^2$ dan $P_k$ akan habis dibagi 4 untuk berapapun nilai dari k jika k bilangan bulat.

Butikan bahwa pernyataan ini benar untuk n = (k+1)
$P_{k+1} = (k+1)^2((k+1)+1)^2 \\
\implies (k+1)^2(k+2)^2 \\
\implies (k+1)^2(k^2+4k+4) \\ 
\implies (k+1)^2 \times (k^2 + 4(k+1))
\\ \\ \implies k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3$

Perhatikan pernyataan terakhir:
$k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3$

Bisa kita lihat bahwa $k^2(k+1)^2 = P_k$ , dan $P_k$ adalah bilangan yang habis dibagi 4,
$\underbrace{k^2(k+1)^2}_{\text{habis dibagi 4}} + 4(k+1)^3 \implies \\ \\
4A + 4(k+1)^3, \ A \in \mathbb{Z}$

Karena habis dibagi 4, maka $k^2(k+1)^2$ bisa disimbolkan sebagai
4A dimana A adalah bilangan bulat, lalu ekspresi diatas bisa diubah lagi:
$4A + 4(k+1)^3 \\ = 4(A+(k+1)^3)$

Karena k adalah bilangan bulat, maka $(k+1)^3$ pasti bilangan bulat sehingga:
$4A + 4(k+1)^3 \\ = 4(\underbrace{A}_{\text{bilangan bulat}}+\underbrace{(k+1)^3}_{\text{bilangan bulat}})$

Karena bilangan bulat + bilangan bulat = bilangan bulat maka bisa kita katakan:
$(k+1)^2((k+1)+1)^2 = 4(\underbrace{A+(k+1)^3}_\text{bilangan bulat})$

Jadi pernyataan tadi merupakan kelipatan 4 x bilangan bulat, yang tentu saja habis dibagi 4. Karena $P_k$ selalu habis dibagi 4 bila $P_k$ dan $P_{k+1}$ habis dibagi 4, maka $P_n =n^2(n+1)^2$ pasti habis dibagi 4 untuk seluruh bilangan bulat.

6 votes Thanks 16