Question

Buktikan bahwa jika f : A → B adalah fungsi surjektif dan H ⊆ B, maka f ( f ⁻¹(H) ) = H

Answer 1

Bukti kiri ke kanan

Ambil y ∈ f(f⁻¹(H)) sebarang
Karena f surjektif, maka ∃ f(x) dengan x∈A, sehingga f(x) = y,
maka, f(x) ∈ f(f⁻¹(H))
maka, x ∈ f⁻¹(H)
maka, f(x) ∈ H
maka, y ∈ H

Jadi, ∀y∈ f(f⁻¹(H)) didapat y∈H

Bukti kanan ke kiri
Ambil y ∈ H
Maka, f(x) ∈ H

Karena f surjektif, jadi ∀f(H), terdapat prapeta
Maka, x ∈ f⁻¹(H)
Maka, f(x) ∈ f(f⁻¹(H))
Maka, y ∈ f(f⁻¹(H))
Jadi, ∀y∈ H didapat ∀y∈ f(f⁻¹(H))

Berdasarkan bukti di atas, terbukti bahwa f(f⁻¹(H)) = H