Question

Bok prostokąta ma długość 24 cm, a przekątna ma dlugość 26 cm. Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty. W każdy z nich wpisujemy okrąg. Oblicz odległość między środkami tych okręgów.

Chyba trudne ;p Nie wynik ale obliczenia !! Najlepiej tez wytlumaczyc ojc postaracie się :D

Answer 1

2r + a = 24
a = 24 - 2r

z tw. Pitagorasa:
26² = 24² + (b + 2r)²
(b + 2r)² = 50*2 = 100
(b + 2r - 10)(b + 2r + 10) = 0
b + 2r > 0
b + 2r = 10
b = 10 - 2r

z tw. Pitagorasa:
d² = a² + b²
d² = (24 - 2r)² + (10 - 2r)²

Ponadto (rysunek2 - trójkąty przystające):
26 = (a + 2r) - r + (b + 2r) - r = 24 + b
b = 2
r = 4

czyli:
d² = (24 - 2r)² + (10 - 2r)² = 16² + 2² = 260
d = 2√65

Answer 2

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy drugi bok prostokąta
a²+24²=26²
a²=676-576
a²=100
a=10

Obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny ze wzoru
r=(a+b-c)/2
r=(10+24-26)/2=8/2=4

Rysujemy proste równoległe do boków prostokąta przechodzące przez środki okręgów (czyli każda z prostych oddalona jest o r od boku prostokąta). otrzymamy w ten sposób mały prostokąt, którego przeciwległymi wierzchołkami są środki okręgów.
Długości boków małego prostokąta wynoszą odpowiednio
24-2r=24-2*4=16
10-2r=10-2*4=2

aby obliczyć odległość środków okręgów wystarczy policzyć długość przekątnej d prostokąta. skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
d²=16²+2²
d²=256+4
d²=260
d=pierw260 = 2pierw65 - szukana odległość