Berapa nilai maksimum k jika diberikan √(x-2)+√(7-x)>=k dengan k anggota bilangan real?.... Question from @46jekkoi

46jekkoi @46jekkoi

October 2019 1 78 Report

Berapa nilai maksimum k jika diberikan √(x-2)+√(7-x)>=k dengan k anggota bilangan real?

Kilos

$$\begin{align}\sqrt{x-2}+\sqrt{7-x}\geq k\end{align}$

Agar pernyataan bernilai benar, maka :

$$\begin{align}x-2\geq 0\double \implies x\geq 2 \\ 7-x\geq 0 \implies x\leq 7\end{align}$

maka, pernyataan akan bernilai benar jika :

$$\begin{align}2\leq x\leq 7\end{align}$

Kemudian, gunakan aplikasi turunan.

$$\begin{align}f(x)&=\sqrt{x-2}+\sqrt{7-x} \\ f'(x)&=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}+\frac{-1}{2\sqrt{7-x}}\end{align}$

Agar nilainya optimal, buat f'(x) = 0, sehingga :

$$\begin{align}\frac{1}{2\sqrt{x-2}}+\frac{-1}{2\sqrt{7-x}}&=0 \\ \frac{1}{2\sqrt{x-2}}&=\frac{1}{2\sqrt{7-x}} \\ 2\sqrt{7-x}&=2\sqrt{x-2} \\ \sqrt{7-x}&=\sqrt{x-2} \\ (7-x)^2&=(x-2)^2 \\ (7-x)^2-(x-2)^2&=0 \\ (7-x+(x-2))(7-x-(x-2))&=0 \\ (5)(-2x+9)&=0 \\\end{align}$

Maka, (-2x + 9) = 0

-2x = -9

x = 9/2

sehingga, nilai k maksimum akan didapatkan dengan :

$$\begin{align}\sqrt{x-2}+\sqrt{7-x}&=\sqrt{\frac{9}{2}-2}+\sqrt{7-\frac{9}{2}} \\ &=\sqrt{\frac{5}{2}}+\sqrt{\frac{5}{2}} \\ &=2\sqrt{\frac{5}{2}} \\ &=\frac{2\sqrt{10}}{2} \\ &=\sqrt{10}\end{align}$

=========

Kalau misalnya yang ditanya berapa nilai maksimum k sehingga persamaannya terdefinisi, maka berdasarkan perhitungan sebelumnya, didapatkan :

$$\begin{align}2\leqx\leq7 \\ x_{\text{puncak}}=\frac{9}{2}\end{align}$

Maka, nilai x minimum akan didapatkan pada x = 2 atau x = 7. Sehingga, jika disubtitusi, akan didapatkan :

$$\begin{align}\sqrt{x-2}+\sqrt{7-x}&=\sqrt{2-2}+\sqrt{7-2}&=\sqrt{5} \\ \text{atau} \\ \sqrt{x-2}+\sqrt{7-x}&=\sqrt{7-2}+\sqrt{7-7}&=\sqrt{5} \\ \end{align}$