Bardzo proszę o szybkie rozwiązanie zadania z załącznika.... Question from @piotrpodjacki

piotrpodjacki @piotrpodjacki

March 2022 1 19 Report

Bardzo proszę o szybkie rozwiązanie zadania z załącznika.

adrianpapis

Odpowiedź:

$f_{min}=-\frac{1}{2}\\f_{max}=0$

Szczegółowe wyjaśnienie:

$D_f=\mathbb{R}\ \ \text{bo}\ x^2+3 > 0$

Policzmy pochodną funkcji.

$f'(x)=\left(\frac{x^2-3x}{x^2+3}\right)'=\frac{(x^2-3x)'*(x^2+3)-(x^2-3x)*(x^2+3)'}{(x^2+3)^2}=\frac{(2x-3)*(x^2+3)-(x^2-3x)*2x}{(x^2+3)^2}=\\=\frac{2x^3+6x-3x^2-9-2x^3+6x^2}{(x^2+3)^2}=\frac{3x^2+6x-9}{(x^2+3)^2}$ Policzmy miejsca zerowe pochodnej, aby znaleźć argumenty, w których mogą być ekstrema.

$f'(x)=0\\\frac{3x^2+6x-9}{(x^2+3)^2}=0\ |*(x^2+3)^2\\3x^2+6x-9=0\ |:3\\x^2+2x-3=0\\\Delta=2^2-4*1*(-3)=4+12=16\\\sqrt\Delta=4\\x_1=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3\\x_2=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1$

Zauważmy, że

$x_1=-3\notin < 0,3 > \\x_2=1\in < 0,3 >$

Dlatego nie ma potrzeby rozważać $x_1$ .

Sprawdźmy, czy w $x=1$ jest ekstremum.

$f'(x) > 0\\\frac{3x^2+6x-9}{(x^2+3)^2} > 0\ |*(x^2+3)^2\\3x^2+6x-9 > 0\ |:3\\x^2+2x-3 > 0\\(x+3)(x-1) > 0\\x\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)\\f'(x) < 0\\x\in(-3,1)$