Bardzo proszę o rozwiązanie, są to zadania na zaliczenie semestru, nie muszą być wszystkie :)
1. Dany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym a1 = 12, a3 = 27. Wyznacz iloraz tego ciągu, a6, oraz sumę 6 pierwszych wyrazów tego ciągu.
2. Dany jest ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym 4 i ilorazie 3. Ile wyrazów tego ciągu należy dodać, aby otrzymać sumę 1456?
3. Dane są punkty A(2,1); B(4,3); C(4,0); D(6, – 1). Oblicz współrzędne, długości wektorów AB i CD oraz iloczyn skalarny tych wektorów. Wyznacz środki tych wektorów.
4. Funkcję y = x2 – 4 należy przesunąć o wektor [2,1]. Wykonaj odpowiednie obliczenia i rysunek i wyznacz wzór tej przesuniętej funkcji.
5. Narysuj okrąg, wyznacz współrzędne środka okręgu i jego promień: x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0. Ile punktów wspólnych ma ten okrąg z prostą y = x ? Wyznacz współrzędne tych punktów i oblicz długość odcinka wyznaczonego przez te punkty.
z.1
a1 = 12, a3 = 27
Mamy
a3 = a1*q^2 --> q^2 = a3 /a1 = 27/ 12 = 9/4
czyli q = 3/2
=============
a6 = a1*q^5 = 12* ( 3/2)^5 = 12*(243/32) = 91,125
S6 = a1*[ 1 - q^6]/[1 - q]
S6 = 12*[1 - (3/2)^6 ]/ [ 1 - 3/2] = 12*[ 1 - 729/64]/[ -1/2] =
= - 24* [ 64/64 - 729/64] = - 24*( - 665/64) = 249,375
Odp. q = 3/2 = 1,5
a6 = 91,125 = 91 1/8
S6 = 249,375 = 249 3/8
=========================
z.2
a1 = 4
q = 3
Sn = 1456
---------------
n = ?
Sn = a1*[ 1 - q^n]/[1 - q ]
1456 = 4*[ 1 - 3^n]/[ 1 - 3]
1456 = 4*[ 1 - 3^n]/(-2)
1456 = - 2*[ 1 - 3^n] / : 2
728 = - [ 1 - 3^n] = 3^n - 1
3^n = 728 + 1 = 729
3^6 = 729
n = 6
=========
Odp. Trzeba dodać 6 początkowych wyrazów tego ciągu.
======================================================
z.3
A = (2; 1), B = ( 4; 3) , C =( 4; 0 ) , D = (6 ; - 1)
Mamy
-->
AB = [ 4- 2 ; 3 - 1] = [ 2 ; 2 ]
-->
CD = [ 6 - 4; -1 - 0 ] = [ 2; - 1]
Długości wektorów są równe długości odcinków
I AB I^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 4*2
zatem
I AB I = 2 p(2)
--------------------------
I CD I^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5
zatem
I CD I = p(5)
-----------------------
Iloczyn skalarny wektorów
---> --->
AB o CD = 2*2 = 2*(-1) = 4 - 2 = 2
-------------------------------------------
Środki wektorów pokrywają się ze środkami odcinków
S1 - środek AB oraz S2 - środek CD
S1 = ( (2 +4)/2 ; (1 + 3)/2 ) = (3 ; 2 )
S2 = ( ( 4 + 6)/2 ; ( 0 - 1)/2 ) = ( 5 ; - 1/2 )
--------------------------------------------------------
p(2) - pierwiastek kwadratowy z 2
------------------------------------------------------------------------------------
z.4
y = x^2 - 4
-->
w = [ 2; 1]
W = ( p; q ) = (0; - 4) - wierzchołek wykresu danej funkcji
Po przesunięciu wierzchołka o wektor [ 2; 1 ]
W' = ( 0 + 2; - 4 + 1) = ( 2; - 3)
zatem
p = 2 oraz q = - 3
Wzór funkcji
y = ( x - 2)^2 - 3
===================
z.5
x^2 + y^2 -4x + 2y - 4 = 0
(x - 2)^2 - 4 + ( y + 1)^2 -1 - 4 = 0
(x - 2)^2 = ( y + 1)^2 = 9 = 3^2
zatem
środek okręgu S = ( 2 ; - 1)
promień okręgu ma długość r = 3
----------------------------------------------
Prosta y = x
Mamy
x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0
y = x
-------------------------------------
czyli
x^2 + x^2 - 4x + 2x - 4 = 0
2 x^2 - 2x - 4 = 0
==================
delta = (-2)^2 - 4*2*(-4) = 4 + 32 = 36
p (delty) = 6
x1 = [ 2 - 6]/4 = -4/4 = - 1
x2 = [ 2 + 6]/4 = 8/4 = 2
zatem
y1 = -1 oraz y2 = 2
czyli punkty wspólne prostej zdanym okręgiem to :
A = ( -1 ; - 1) , B = ( 2 ; 2)
oraz
I AB I^2 = (2 - (-1))^2 + ( 2 - (-1))^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 9*2
czyli
I AB I = 3 p(2)
===================