Bardzo proszę o rozwiązanie: nierówność: x3 - 6x2> 8 x -48 równanie: 3x4 - 10x3 + 10x

January 2019 1 14 Report

Bardzo proszę o rozwiązanie:

nierówność:

x3 - 6x2> 8 x -48

równanie:

3x4 - 10x3 + 10x - 3=0

Roma $x^3 - 6x^2\ \textgreater \ 8 x -48 \\\\
x^3 - 6x^2- 8 x +48\ \textgreater \ 0 \\\\
x^2 \cdot (x - 6) - 8 \cdot (x - 6)\ \textgreater \ 0 \\\\
(x - 6)(x^2 - 8) \ \textgreater \ 0 \\\\
(x - 6)(x^2 - (\sqrt{8})^2)\ \textgreater \ 0 \\\\
(x - 6)(x - \sqrt{8})(x + \sqrt{8})\ \textgreater \ 0$

Wyznaczmy miejsca zerowe:
$(x - 6)(x - \sqrt{8})(x + \sqrt{8}) = 0 \\\\
x - 6 = 0 \ \vee \ x - \sqrt{8} = 0 \ \vee x + \sqrt{8} = 0 \\\\
x = 6 \ \vee \ x =\sqrt{8} \ \vee x =- \sqrt{8} \\\\
x = 6 \ \vee \ x =\sqrt{4 \cdot 2} \ \vee x =- \sqrt{4 \cdot 2} \\\\
x = 6 \ \vee \ x =2\sqrt{2} \ \vee x =- 2\sqrt{2}$

Zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy przybliżony wykres: zaczynamy rysować od góry z prawej strony, bo bo współczynnik przy najwyższej potędze (1 > 0) jest dodatni. Wykres przecina oś w miejscach zerowych, bo pierwiastki są 1 - krotne (patrz załącznik). Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności, czyli zbiór tych argumentów x,dla których wartości są dodatnie:

$x \in (-2\sqrt{2}; \ 2\sqrt{2}) \cup (6; \ +\infty)$

==============

$3x^4 - 10x^3 + 10x - 3=0 \\\\
3x^4 - 3 - 10x^3 + 10x =0 \\\\
3 \cdot (x^4 - 1) - 10x \cdot (x^2 -1) =0 \\\\
3 \cdot (x^2 - 1)(x^2+1) - 10x \cdot (x^2 -1) =0 \\\\
(x^2 -1)(3 \cdot(x^2 + 1) - 10x) = 0 \\\\
(x^2 - 1)(3x^2 + 3 - 10x) =0 \\\\
(x- 1)(x+1)(3x^2 - 10x+ 3) = 0$

$x - 1 = 0 \ \vee \ x+1 = 0 \ \vee \ 3x^2 - 10x + 3 = 0 \\\\
x - 1 = 0 \\\
x_1 = 1 \\\\
x + 1 = 0 \\\
x_2 = - 1 \\\\
3x^2 - 10x + 3 = 0 \\\
\Delta =(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64; \ \sqrt{\Delta}= \sqrt{64}= 8 \\\\
x_3 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3}= \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \\\\
x_4 = \frac{10+8}{2 \cdot 3}= \frac{18}{6} = 3$

Zatem:
$x \in \{-1; \ \frac{1}{3}; \ 1; \ 3 \}$

1 votes Thanks 0