Błagam pomóżcie rozwiązac elementy geometrii analitycznej inaczej nie zdam błagam.... Question from @Dzulla15

January 2019 1 14 Report

Błagam pomóżcie rozwiązac elementy geometrii analitycznej inaczej nie zdam błagam

unicorn05 1
$y=\frac{1}{2}x+5 \qquad\quad A=(-2;1)$
a)
Prosta równoległa do danej ma ten sam współczynnik kierunkowy, co dana prosta
      $a=\frac{1}{2}$
czyli szukana prosta ma postać: $y=\frac{1}{2}x+b$

skoro prosta przechodzi przez dany punkt to współrzędne tego punktu muszą spełniać jej równanie $y(-2)=1$

$\frac{1}{2}\cdot(-2)+b=1\\\\-1+b=1\\\\b=2$

czyli równanie szukanej prostej równoległej to: $y=\frac{1}{2}x+2$

b)
Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do danej prostej jest odwrotny i ma przeciwny znak do współczynnika danej prostej:
   $a_1=-\frac{1}{a}=-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-2$

czyli szukana prosta ma postać: $y=-2x+b$

skoro prosta przechodzi przez dany punkt to współrzędne tego punktu muszą spełniać jej równanie $y(-2)=1$

   $-2\cdot(-2)+b=1\\4+b=1\\b=-3$

czyli równanie szukanej prostej prostopadłej to: $y=-2x-3$

2.
Skoro K i M są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu, to odcinek KM jest przekątną tego kwadratu.
Przekątna kwadratu to a√2
Stąd:   |KM| = a√2 /:√2
   $a=\frac{|KM|}{\sqrt2}=\frac{|KM|\sqrt2}{2}$

$|KM|=\sqrt{(x_M-x_K)^2+(y_M-y_K)^2}\\\\|KM|=\sqrt{(5+2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2\\\\\\ a= \frac{5\sqrt2\cdot\sqrt2}{2}=\frac{5\cdot2}{2}=5\\\\P=a^2=5^2=25\\\\Obw=4a=4\cdot5=20$

3.
Współrzędne środka odcinka AB to: $S=(\frac{x_A+x_B}{2}\ ;\ \frac{y_A+y_B}{2})$

czyli:
   $\frac{-4+x_B}{2}=2\ \ /\cdot2 \qquad \wedge \qquad \frac{5+y_B}{2}=-1\ \ /\cdot2 \\\\-4+x_B=4 \qquad\quad\ \wedge \qquad \ 5+y_B=-2\\\\x_B= 8\ \ \ \ \qquad\qquad\ \wedge \qquad \ \ y_B=-7\\\\B=(8,-7)$

4.
trójkąt ABC jest równoramienny jeżeli |AB|=|BC| lub |AC|=|BC| lub |AB|=|AC|

$|AB|=\sqrt{(5+3)^2+(2+4)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\\\\|AC|=\sqrt{(-5+3)^2+(7+4)^2}=\sqrt{4+121}=\sqrt{125}=\sqrt{25\cdot5}=5\sqrt5\\\\|BC|=\sqrt{(-5-5)^2+(7-2)^2}=\sqrt{100+25}=5\sqrt5=|AC|$

Trójkąt jest równoramienny, a jego podstawa to |AB|=10
jego wysokość z tw. Pitagorasa:
   $|BC|^2=(\frac{1}{2}|AB|)^2+h^2\\\\(5\sqrt5)^2=5^2+h^2\\\\125=25+h^2\\\\h^2=100\\\\h=10$

$P=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 10=50\\\\Obw=2|BC|+|AB|=10\sqrt5+10=10(\sqrt5+1)$

5
Symetralna odcinka to prosta prostopdła do odcinka, przechodząca przez jego środek

Środek odcinka: $S=(\frac{x_A+x_B}{2}\ ;\ \frac{y_A+y_B}{2})=(\frac{2+4}{2}\ ;\ \frac{1-5}{2})=(3\ ; -2)$

jeśli prosta y=ax+b przechodzi przez dwa punkty (A i B), to muszą one spełniać jej równanie.
Czyli: y(2)=1 i y(4)=-5
      a·2+b=1 ∧ a·4+b=-5
   b=1-2a ∧ b = -5 -4a
   1 - 2a = -5 - 4a
   -2a + 4a = -5 - 1
   2a = -6 /:2
   a = -3

symetralna jest prostopadła do odcinka, więc ma współczynnik odwrotny i przeciwny do współczynnika prostej AB zawierającej ten odcinek:
   $a_s = -\frac{1}{a}=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}$

równanie symetralnej ma postać: $y=\frac{1}{3}x+b$
Przechodzi przez S więc: $y(3)=-2$
czyli:
   $\frac{1}{3}\cdot3+b=-2\\\\1+b=-2\\\\b=-3$

Więc równanie symetralnej odcinka AB to: $y=\frac{1}{3}x-3$

6.
Równanie okręgu to: $(x-x_S)^2+(y-y_S)^2=r^2$
gdzie $x_S$ i $y_S$ to współrzędne środka okręgu, a r to promień tego okręgu

Dany okrąg ma równanie: $(x+1)^2+(y-2)^2 =r^2$

Promień będzie odległością środka okręgu od stycznej:    $r=\frac{|Ax_S+By_S+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
gdzie A, B i C to współczynniki prostej zapisanej w postaci ogólnej.

Zamieniamy równanie stycznej na postać ogólną:
y = x + 7
- x + y - 7 = 0 /·(-1)
x - y + 7 = 0 ∧ O=(-1;2)
A=1 B=-1 c=7 ∧ $x_S$ =-1 $y_S$ =2

$r = \frac{|1\cdot (-1)+(-1)\cdot2+7|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|-1-2+7|}{\sqrt{1+1}}=\frac{4}{\sqrt2}=\frac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2$

$r^2=(2\sqrt2)^2=8$

Czyli okrąg ma równanie: $(x+1)^2+(y-2)^2=8$

1 votes Thanks 1