Question

1.Wiadomo,że log₃5=a.Oblicz log₉5.

2.Wyznacz liczbą x,wiedząc,że log₂(x-1)=-3

3.Wartość wyrażenia W=|x-6|-3x+5 dla liczby x∈(0,6) jest równa?

4.Dla liczby x spełniony jest warunek |3x-6|=6-3x.Wówczas x∈...

5.Dane jest wyrażenie W=|2x-10|-|x+2|.Zapisz wartość tego wyrażenia bez symbolu wartości bezwględnej dla dowolnej liczby x∈(-2,5)

6.Dla pewnej liczby x prawdziwy jest wzór |2x-7|=7-2x.Wyznacz max przedział,do którego należy liczba x.

7.Dane są przedziały A=(-5,2),B=<0,6> i A=(-∞,3),B=(<-4,+∞) Wyznacz przedziały

AUB B/A i A/B w tych 2 przypadkach.

8.Dana jest liczba x=(√3-2√2)²+4√6.Wykaż,że liczba x jest naturalna.

Proszę najlepiej zrobić te zadania w Latexie,żeby było wszystko widocznie+tłumaczenie zadań.

Answer 1

1)   z pierwszego warunku wynika, ze  3^a=5

      z drugiego mamy    9^x=5

     porownujemy lewe strony    3^a=9^x

                                                 3^a=3²^x

                                                 3^a=3^2x

                                                 2x=a

                                                 x=a/2

===================================================================

2)    logarytm to wykladnik potegi, do ktorej nalezy podniesc dana podstawe, aby obliczyc liczbe logarytmowana

nie przepisuje przykladu

2^-3=x-1

x-1=1/8

x=1 i 1/8

================================================================

3)  |x|=x  dla x≥0

       |x|=-x    dla x<0

liczba z przedzialu  (0;6) to np. 5

podstawiamy za x=5 pod znak wartosci bezwzglednej, mamy -1

zatem |-1|=1

musimy zmienic znaki

W=|x-6|-3x+5          x∈(0;6)

W=-x+6-3x+5

W=-4x+11

==================================================

4)   |3x-6|=6-3x          x ∈....

       3x-6=0

    3x=6

     x=2

mamy 2 przedzialy

gdy x∈(-∞;2), to |3x-6|=6-3x        ODPOWIEDZ

gdy x∈<2;∞), to |3x-6|=3x-6

===============================================================

5)  W=|2x-10|-|x+2|         x∈(2;5)

W= -2x+10-(x+2)

W=-2x+10-x-2

W=-3x+8

==========================================================

 

6)  |2x-7|=7-2x

      2x-7=0

      2x=7

      x=7/2

mamy 2 przedzialy

x∈(-∞;7/2)    , to |2x-7|=7-2x       ODPOWIEDZ

x∈<7/2;∞)   , to    |2x-7|=2x-7

=======================================================

 

7)   A=(-5;2)      B=<0;6>

AUB=(-5;6>

B\A=<2;6>

A\B=(-5;0)

 

A=(-∞;3)         B=<-4;∞)

sa 2 znaki, przyjelam przedzial lewostronnie domkniety

AUB=(-∞;∞)=R

B\A=<3;∞)

A\B=(-∞;-4)

=====================================================

8)    x=(√3-2√2)²+4√6

       x=3-4√6+8+4√6

x=11∈N

zastosowane wzory        (a-b)²=a²-2ab+b²

                                     √a·√b=√ab

                                     (ab)^n=a^n ·b^n 

====================================================================

pozdrawiam 

 

Answer 2

Zad. 1.

 

 

---------------------------------

Skorzystano ze wzorów:

a > 0, b > 0 i b ≠ 1, c > 0 i c ≠ 0

- na zmianę podstawy logarytmu:

- ; r ∈ R

-

 

 

Zad. 2.

 

---------------------------------

Skorzystano z:

- def. logarytmu: a > 0, b > 0 i b ≠ 1

- def. potęgi o wykładniku całkowitym: a≠ 0 i n ∈ N

 

Zad. 3.

Def. wartości bewzględnej:

Na podstawie tej definicji otrzymujemy:

Stąd dla x ∈ (0, 6) wyrażanie |x - 6| = - x + 6

zatem dla x ∈ (0, 6)

W = |x - 6| - 3x + 5 = - x + 6 - 3x + 5 = - 4x + 11

 

4.

|3x - 6|= 6 - 3x = - (3x - 6), czyli zgodnie z def. wartości bezwzględnej (patrz zad. 3):

3x - 6 < 0

3x < 6 /:3

x < 2

x ∈ (- ∞; 2)

 

5.

Na podstawie def. wartości bezwględnej (patrz zad. 3) otrzymujemy:

Stąd dla x ∈ (- 2, 5) wyrażanie |2x - 10| = - 2x + 10

oraz

Stąd dla x ∈ (- 2, 5) wyrażanie |x + 2| = x + 2

 

Zatem dla x ∈ (- 2, 5)

W =|2x - 10| - |x + 2| = - 2x + 10 - (x + 2) = - 2x + 10 - x - 2 = - 3x + 8

 

6.

|2x - 7| = 7 - 2x = - (2x - 7), czyli zgodnie z def. wartości bezwzględnej (patrz zad. 3):

2x - 7 < 0

2x < 7 /:2

x < 3,5

x ∈ (- ∞; 3,5)

 

7.Dane są przedziały

a) A = (- 5, 2), B = <0, 6>

A U B = (- 5; 2) U <0; 6> = (- 5; 6>

B \ A = <0, 6>  \ (- 5; 2) = <2; 6>

A \ B = (- 5, 2) \  <0, 6> = (-5; 0)

 

b) A = (- ∞, 3), B = <- 4,+ ∞)

A U B = (- ∞, 3) U <- 4,+ ∞) = R

B \ A = <- 4,+ ∞) \ (- ∞, 3) = <3; + ∞)

A \ B = (- ∞, 3) \ <- 4,+ ∞)  = (- ∞; - 4)

 

--------------------------------------

Suma zbiorów A i B (A U B) to zbiór elementów należących do zbioru A lub do zbioru B.

Różnica zbiorów A i B (A \ B) to zbiór elementów, które należą do zbioru A, lecz nie należą do zbioru B.

Różnica zbiorów B i A (B \ A) to zbiór elementów, które należą do zbioru B, lecz nie należą do zbioru A.

8.

 

--------------------------

Zastosowano wzór skróconego mnożenia:

(a - b)² = a² - 2ab + b²