Question

Ayuda con este limite porfavor (tiende a 1)

Answer 1

La solución más simple para este caso es la aplicación de la regla de L'Hopital.

El límite para este caso (0/0) es igual al límite de sus derivadas, que puede reiterarse.

Numerador: derivada = 2/3 x^(-1/3) - 2/3 x^(-2/3)
Denominador: derivad = 2 (x -1)

Si x tiende a 1 el límite sigue siendo 0/0) Derivamos otra vez:

Numerador: derivada = 4/9 x^(-5/3) - 2/9 x^(-4/3)
Denominador: derivada = 2

Si x tiende a 1: numerador = 4/9 - 2/9 = 2/9
denominador = 2

Por lo tanto el límite es 1/9


Forma algebraica:

Hacemos una sustitución: a = x^(1/3); a^3 = x

Numerador: a^2 - 2 a + 1 = (a - 1)^2

Denominador: (a^3 - 1)^2

Según se sabe: a^3 - 1 = (a - 1) (a^2 + a + 1); reemplazamos:

(a - 1)^2 / [(a - 1) (a^2 + a + 1)]^2 = 1 / (a^2 + a + 1)^2

Si x tiende hacia 1, a también

Por lo tanto: L = 1 / (1 +1 + 1)^2 = 1/9

Saludos Herminio