Arturo dibujó un rectángulo cuya diagonal mide 19 cm. si la base y la altura del rectángulo de Arturo aumentan en 3 cm, entonces la diagonal aumenta 4cm. Calcule el perímetro del rectángulo inicial.
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Para el primer rectángulo:
19² = x² + y²
361 = x² + y² (I)
Para el segundo rectángulo:
23² = (x+3)² + (y+3)²
529 = x² + 6x + y² + 6y + 18
511 = x² + 6x + y² + 6y
511 = x² + y² + 6x + 6y (II)
Sustituimos I en II:
511 = 361 + 6x + 6y
150 = 6x + 6y
150 = 6 (x+y)
25 = x + y [Despejaremos en este caso a y]
y = 25 - x (III)
Sustituimos III en I:
361 = x² + (25 - x)²
361 = x² + 625 - 50x + x²
2x² - 50x +264 = 0 [Se resuelve la ecuación de segundo grado]
Se obtiene:
x = 17.424
x = 7.576 [tomaremos este valor]
Sustituimos el valor de x en II:
511 = (7.576)² + 6(7.576) + y² + 6y
511 = 102.85 + y² + 6y
y² + 6y - 408.15 = 0
Se obtiene:
y = 17.424
y = -23.424 (como es negativo tomaremos la otra cantidad)
Entonces tendremos que:
x = 7.576
y = 17.424
Verificamos que se cumplan las igualdades I y II:
x² + y² = (7.576)² + (17.424)² = 360.99 ≈ 361
x² + y² + 6(x + y) + 18 = (7.576)² + (17.424)² + 6 (7.576 + 17.424) + 18 = 528.99 ≈ 529
PERÍMETRO INICIAL DEL RECTÁNGULO:
PI = 2(X + Y)
PI = 2(7.576 + 17.424) = 50 cm