Question

(a,b,1) jest ciągiem arytmetycznym a (a,b,a+b+1) ciągiem geometrycznym. Wyznacz sumę ciągu arytmetycznego.

Answer 1

( a, b,1 )   - ciag arytmetyczny, zatem

b - a = 1 - b  => 2 b = a + 1 = > a = 2b- 1

( a,b, a + b + 1 )  - ciag geometryczny, zatem

b/a = ( a + b + 1) / b => b^2 = a*( a + b + 1)

b^2 = (2b - 1)*( 2b - 1 + b + 1)

b^2 = (2b -1)*(3b)

b^2 = 6 b^2 - 3b

5 b^2 - 3 b = 0

b*( 5b - 3) = 0

b = 0  lub  5b = 3

b = 0   lub  b = 3/5

czyli

a = 2*0 - 1  = - 1  lub  a = 2*(3/5) - 1 = 6/5 - 1 = 1/5

Mamy 2 ciągi arytmetyczne:

-1, 0, 1 , ale  wtedy ciąg  -1, 0, 0   nie jest ciagiem geometrycznym

1/5; 3/5; 1

===============

 

a1 = 1/5   oraz  r = 2/5

=====================

 

 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = S6

S6 + a7 + a8 + ... + a20 = S20

zatem

a7 + a8 + .. + a20 = S20 - S6

============================

a6 = a1 + 5 r = 1/5 + 5*(2/5) = 1/5 + 2 = 2,2

a20 = a1 + 19r = 1/5 + 19*(2/5) = 1/5 + 38/5 = 39/5 = 7,8

zatem

S6 = 0,5*[0,2 + 2,2]*6 = 2,4*3 = 7,2

S20 = 0,5*[0,2 + 7,8]*20 = 8*10 = 80

czyli

a7 + a8 + .. + a20 = 80 - 7,2 = 72,8

===================================