Question

1.
Wykaż, że
1+ 1/√2 + 1/√3 > √3
2.
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b zachodzą nierówności:
a) a+b >√2ab
b) a³+b³<(√a²+b²)³
c) 1/√a²+b²<1/a+1/b
3.
Wykaż, że jeśli a,b i c są długościami boków dowolnego trójkąta, to
a) a/a+c + b/c+a + c/a+b < 2
b) a⁴ +b⁴ + c⁴ < 2(a²b² + a²c² +b²c²)

daje najlepsze!!

Answer 1

1. 1+1/√2*√2/√2+1/√3*√3/√3=1+1√2/2+1√3/3 z tego:

pierwiast √2 √3 sa mniejsze od 2 i 3

2. a) 8+4>√2*8*4= 12>√64=12>8 prawda
b) 2³+2³<(√2²+2²)³=16<6³
c) 1/√2²+2²<1/2+1/2=1/6<1/4

3. b)
a^4 +b^4 +c^4 = 2a^4 +2b^4 +2c^4 -2bc cosα -2ac cos β -2 ab cosγ
czyli
a^4 +b^4 +c^4 = 4bc cosα + 4ac cosβ + 4ab cosγ
dla dowolnych α, β, γ jest
cos α ≤ 1 , cos β ≤ 1, cos γ ≤ 1
więc
4bc cos α < 4bc,
4ac cos β < 4ac,
4ab cos γ < 4ab
zatem
a^4 +b^4 +c^4< 4ab + 4bc + 4ac
a^4 + b^4 + c^4 < 4*(ab + bc + ac)
=========================================
z cosinusów
Jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta:
BC =a, AC = b, AB = c
oraz α = I∢AI, β = I∢B I, γ = I ∢ C I,
to
a² = b² + c² - 2bc cos α
b² = a² + c² - 2ac cos β
c² = a² + b² - 2ab cos γ
---------------------------------------------
Po dodaniu stronami otrzymamy
a² + b² + c² = 2a² + 2b² + 2c² -2bc cosα - 2ac cos β - 2ab cos γ