Question

1.udowodnij nierownosc:a) a/3+3/a>(wieksze badz rowne)2 gdy a>o b)a/b+b/a>(badz rowne)2,gdy a,b>o c)a^2/2b+4b^2/a>(badz rowne)a+2b,gdy a,b >0 d)a^3+b^3>(badz rowne)a^2b+ab^2gdy a,b>0 e)(a+b)(1/a+1/b)>(badz rowne)4 f)a^3+b^3>(badz rowme)1/4(a+b)^3,gdy a,b>0 g)a^2/a^4+1(badz rowne)a^3b+ab^3

Answer 1

a) a/3 + 3/a >= 2*pierwiastek z ( a/3 * 3/a ) = 2           sr.art. >=  sr. geom 

 

b) a/b + b/a >=  2* pierwiastek z ( a/b * b/a ) = 2 * pierwiastek z 1 = 2      ( ten sam zwiazek miedzy srednimi ) 

 

f) a^3 + b^3 >= 1/4(a+b)^3  /4

4a^3 + 4b^3 >= a^3 + 3ab(a+b)  + b^3 

3(a^3 + b^3) = 3(a+b)(a^2 - ab + b^2 ) >= 3(a+b)ab  / 3ab 

(a^2 - ab + b^2 ) >/ ab  

 

a^2 + b^2 >= 2ab  

!  ( bo (a-b)^2 >= 0  kwadrat liczby jest zawsze nieujemny ,stad mamy a^2 - 2ab + b^2 >= 0      ]>   a^2 + b^2 >= 2ab )                podstawiamy 

 

(2ab -ab)>= ab 

ab>= ab 

 

e) (a+b)(1/a + 1/b ) >= 4 

    1 + a/b + b/a + 1 >= 4 

 a/b + b/a >= 2 

a/b + b/a >= 2* pierwiastek z ( a/b * b/a ) = 2 

 

c) a^2/2b + 4b^2/a =  (a^3 + 8b^3) / (2ab) >= a + 2b 

(a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2 ) / (2ab) >= a + 2b  /* 2ab 

a+2b) ( a^2 - 2ab + 4b^2 ) >=  (a + 2b)2ab  / przez a +2b 

a^2 - 2ab + 4b^2 >= 2ab 

a^2 + 4b^2 >= 4ab 

 

d) a^3 + b^3 = ( a + b ) ( a^2 - ab + b^2 ) >= a^2b + b^2a 

 a+b ) ( a^2 - ab + b^2 )  >=     (a+b)ab 

a^2 - ab + b^2 >= ab  

2ab - ab >= ab 

ab >= ab