Question

a) udowodnij ,że x²+y²+z²≥xy+xz+yz dla x,y,z R

b) wiedząc, że a<b<c<d ustaw w porządku rosnącym liczby :

x(a+b)(c+d), y=(a+c)(b+d), z=(a+d)(b+c)

Bardzo proszę o szczegółowe i dokładne rozwiązania , gdyż nie umiem tego a chciałabym dostać z tego dobrą ocnę i zrozumieć to . Ok ? najlepsze nagrod

Answer 1

Witam!

a) Mnożę obie strony nierównosci przez 2:

przenoszę wszystko na jedną stronę:

 

Suma kwadratów trzech liczb rzeczywistych nie może by ujemna, co kończy dowód powyżej nierówności.

 

b)

 

Na razie nie wiem w jakiej relacji jest np. para i więc pomiędzy nimi bedę używać znaku

 

Ponieważ więc można obie strony podzielić przez a na dodatek znak nierówności się nie zmienia, bo dzielimy przz liczbę dodatnią:

A tu już wiadomo, że z założenia:

 

Ponieważ wszystkie nierówności są równoznaczne więc prawdziwa jest też nierówność czyli .

 

Analogicznię rozpatruję parę i :

Ponieważ więc można obie strony podzielić przez a na dodatek znak nierówności się nie zmienia, bo dzielimy przz liczbę dodatnią:

A tu już wiadomo, że z założenia:

 

Ponieważ wszystkie nierówności są równoznaczne więc prawdziwa jest też nierówność czyli .

 

Stąd odpowiedź: .

 

Pozdrawiam!