Question

A) Tworząca stożka o długości 6 pierwiastek z 6 jest nachylona do podstawy pod kątem 45 stopni. Oblicz objętość stożka.

b) Tworząca stożka ma długość 20, a kąt rozwarcia stożka ma miarę 120 stopni. Oblicz objętość stożka.

Answer 1

A) Tworząca stożka o długości 6 pierwiastek z 6 jest nachylona do podstawy pod kątem 45 stopni. Oblicz objętość stożka.

l = 6√6 -tworząca stożka
α = 45° - kat nachylenia tworzacej do płaszczyzny podstawy( do promienia)
r - promień podstawy ( koła)
H - wysokość stożka

V = ? - objetość stożka
1. Obliczam promień r podstawy
z trójkata prostokatnego, gdzie:
r - przyptostokatna leżąca przy kacie α
H - przyprostokatna leżąca naprzeciw kąta α
l - przeciwprostokatna
r : l = cos 45°
r = l*cos 45°
r = 6√6*1/2*√2
r = 3√6*√2
r = 3√2*√3*√2
r = 3*2*√3
r = 6√3
2. Obliczam wysokość H stożka z w/w trójkata
H : l = sin 45°
H = l* sin45°
H = 6√6*1/2*√2
H = 3*√6*√2
H = 3*√2*√3*√2
H = 3*2*√3
H = 6√3

3. Obliczam objetość stożka
V = 1/3*Pp *H
V = 1/3*π*r²*H
V = 1/3*π*(6√3)²*6√3
V = 1/3*π*36*3*6√3
V = 216*π*√3
Odp. Objetość stożka wynosi 216*π*√3

b) Tworząca stożka ma długość 20, a kąt rozwarcia stożka ma miarę 120 stopni. Oblicz objętość stożka.
l = 20 - tworzaca stożka
β = 120° - kat rozwarcia stożka (kat przy wierzchołku)
r - promień podstawy
H - wysokość stożka
V = ? - objetość stożka
1. Obliczam promień r podstawy
z trójkąta prostokatnegogdzie:
r - przyprostokatna leżąca naprzeciw kąta α
H - przyprostokatna leżąca przy kącie α
l - przeciwprostokątna
r : l = sin (120°:2)
r : l = sin 60°
r = l*sin 60°
r = 20*1/2*√3
r = 10√3
2. Obliczam wysokość H stożka z w/w trójkąta
H : l = cos (120°:2)
H :l = cos 60°
H = l*cos 60°
H = 20*1/2
H = 10

3. Obliczam objetość stożka
V = 1/3*Pp*H
V = 1/3*π*r²*H
V = 1/3*π*(10√3)² *10
V = 1/3*π*100*3*10
V = 1000*π
Odp. Objętość stożka wynosi 1000π