Question

a) Oblicz długość wysokości trójkąta, opuszczonej na bok o długości 10cm, wiedząc, że kąty przy tym boku mają miary 30 i 45 stopni.

b) Oblicz obwód trójkąta, w którym kąty leżące przy boku o długości 6 cm mają miary 45 i 60 stopni.

Proszę o rowiazanie lub nakierowanie. Z góry dziękuje :)

Answer 1

a)

h - wysokość

a = 10 cm

a = x + ( 10 - x)

Mamy

h/x = tg 30 st = p(3)/3

h /( 10 - x) = tg 45 st = 1  => h = 10 - x =>  x = 10 - h

czyli

h/( 10 - h) = p(3)/3

3 h = p(3)*( 10 - h)

3 h = 10 p(3) - p(3)*h

3 h + p(3)*h = 10 p(3)

h*(3 + p(3)) = 10 p(3)

h = 10 p(3)/[ 3 + p(3)] = [ 10 p(3)*( 3 - p(3))]/[ ( 3 + p(3))*( 3 - p(3))] =

= [ 30 p(3) - 30] / ( 9 - 3) = 5 p(3) - 5

Odp.  h = 5 p(3) - 5  = 5*[ p(3) - 1 ]

==================================

p(3)  - pierwiastek kwadratowy z 3

------------------------------------------------------------

b)

h - wysokośc trójkąta

x + ( 6 - x) = 6

Mamy

h/x = tg 45 st = 1

czyli

h = x

-------------

h/ ( 6 - x) = tg 60 st = p(3)

zatem

h/( 6 - h) = p(3)

h = p(3)*( 6 - h) = 6 p(3) - h p(3)

h + h p(3) = 6 p(3)

h*( 1 + p(3)) = 6 p(3)

h = 6 p(3)/ ( 1 + p(3)) = [ 6 p(3) *(1 - p(3)]/[( 1 + p(3))*( 1 - p(3))] =

= [ 6 p(3) - 18]/( -2) = 9 - 3 p(3)

h = 9 - 3 p(3)

------------------

więc

x =  9 - 3 p(3)

-----------------------

b^2 = x^2 + h^2 = 2& x^2 = 2*[ 9 - 3 p(3)]^2 = 2*[81 - 54 p(3) + 27] =

= 2*[ 108 - 54 p(3)] = 216 - 108 p(3) = 36*[ 6 - 3 p(3)]

zatem

b = 6* p[ 6 - 3 p(3)]

=====================

c^2 = h^2 + ( 6 - h)^2 = [ 9 - 3 p(3)]^2 + [ 3 p(3) - 3]^2 =

= 81 - 54 p(3) + 27 + 27 - 18 p(3) + 9 =

= 144 - 72 p(3) = 36*[ 4 - 2 p(3)]

zatem

c = 6 p[ 4 - 2 p(3)]

=====================

Ponieważ  a = 6

zatem obwód trójkąta

L = 6 + 6 * p[ 6 - 3 p(3)] + 6 p[ 4 - 2 p(3)]

============================================

 p [ 4 - 2 p(3) ]  - pierwiastek kwadratowy z [ 4 - 2  pierw. kw, x 3 ]