Question

a) ile ścian bocznych ma graniastosłup o 174wierzchołkach? b)ile wierzchołków ma graniastosłup o 17 scianach bocznych? c)czy graniastosłup moze miec 555 krawędzi? d)ile krawędzi ma graniastosłup o 44 ścianach? e)ile ścian ma graniastosłup o 444 krawędziach? f)czy graniastosłup moze miec 20 krawedzi? g)ile ścian ma graniastosłup o 76 wierzchołkach?

Answer 1

a) 88

b)18

c) tak

d)89

e)nie wiem

 f)tak

g)38

Answer 2

No to jedziemy:

 

a)

Graniastosłupy to takie wygodne figuty do liczenia ścian, wierzchołków itp. że posiadają równą ilość wierzchołków zarówno w górnej jak i dolnej podstawie. Na przykład taki sześcian, u góry ma 4 wierzchołki jak i na dole ma 4 wierzchołki.W podstawie zatem mamy czworokąt(w tym przypadku kwadrat).A skoro czworokąt, to posiada 4 boki - logiczne - zatem do każdego boku dostawiasz ściane i wychodzi Ci że sześcian posiada 4 ściany boczne.

 

Ile zatem ścian będzie miał graniastosłup o 174 wierzchołkach? Skoro u góry i na dole ma tyle samo wierzch. w podstawach, to ma 174/2 = 87 wierzchołków.A skoro 87 wierzchołków to i 87 boków -> idąc dalej daje "puszczamy" z każdego boku po jednej ścianie i wychodzi nam 87 ścian bocznych.

 

Na przyszłość zatem:

 

n-wierzchołkowy graniastosłup daje nam n/2 ścian bocznych oraz n/2+2 wszystkich ścian, bo liczymy również podstawy.

 

b) Tutaj jedziemy niejako "od tyłu", skoro mamy 17 ścian bocznych, to mamy 17 wierzchołków u góry i na dole, a zatem nasz graniastosłup ma 2*17=34 wierzchołków.

 

c) Tutaj nie co inaczej. Jeżeli założymy sobie, że nasz graniastosłup ma n wierzchołków w podstawie dolnej, to również ma n wierzchołków w podstawie górnej - wiadomo. Skoro ma n wierzchołków w podstawie, to daje nam n boków, czyli n krawędzi w tej podstawie(bok = krawędź).Dorzucamy do tego tyle samo krawędzi w górnej podstawie - n. Nie zapominamy jednak, że każdy wierzchołek - z górnej bądź dolnej podstawy - "wypuści" nam krawędź do tej drugiej podstawy, a zatem znowu mamy n krawędzi.

Czyli:

 

n+n+n=555

3n=555

n=185 wierzchołków w podstawie

Graniastosłup zatem istnieje, ma 2*185=370 wierzchołków

 

d) Tak jak wczesniej określiłem:

 

n wierzchołków w podstawie dolnej daje n wierzchołków w podstawie gónej- a to z kolei daje także n boków w każdej podstawie. Z każdego boku "puszczamy" ścianę i mamy również n ścian bocznych. W zadaniu jednak jest powiedziane że ma 44 ściany łącznie, czyli z uwzględnieniem tych 2 podstaw - gónej i dolnej.A zatem:

 

44 ściany dają 44-2=42 ściany boczne. Ile ścian bocznych, tyle boków w podstawie.Zatem mamy 42 wierzchołki zarówno w dolnej jak i górnej podstawie.42 wierzchołki to 42 boki, to z kolei 42 krawędzie. Do tego jeszcze dorzucamy krawędzie boczne których jest również 42.Zatem nasz graniastosłup ma dokładnie 3*42=126 krawędzi

 

e) Tutaj znowu to samo. 444 krawędzie to tak naprawdę 444/3=148 krawędzi w dolnej podstawie jak i w górnej, jak również po bokach.A skoro mamy 148 krawędzi w podstawie, to mamy 148 boków w tej podstawie.Gdy z każdego boku "wypuścimy" ściankę do góry(bądz do dołu) to tez nam wyjdzie 148 ścian bocznych. Dorzucamy do tego 2 podstawy i mamy 148+2=150 ścian.

 

f) Jak wspomniałem: n - wierzcholkow w podstawie to n-krawedzi - to n boków.U góry i na dole mamy n krawedzi,do tego jeszcze n krawedzi po bokach, czyli łączna liczba krawędzi w graniastosłupie musi byc podzielna przez 3:

 

3n=20

n=6 i 2/3 , czyli taki graniastoslup nie istnieje.

 

g) Znowu schemat:

 

n - wierchołków łącznie, to n/2 wierzch. w podstawie górnej i dolnej. Czyli 76/2=38 wierzcholkow w podstawach. 38 wierzch. daje 38 boków, a to daje 38 scian bocznych. Do tego dorzucamy 2 podstawy(górna i dolna) i mamy łącznie 38+2=40 ścian.