Question

skreślając w liczniku i mianowniku ułamki 19/95 cyfrę 9,otrzymamy ułamek 1/5.
czy ułamki 1/5 i 19/95 są równe?..czy potrafisz znaleźć inny ułamek majacy taką własnosc?

Answer 1

Zauważyć należy  pewną rzecz, jaką zastosowałaś przy tym równaniu stosujemy się do ogólnego wzoru:

Ustalmy najpierw dziedzinę. Wiadomo od razu, że y nie równa się zero.

Wiadomo również, że z nie równa się 0 (bo w mianowniku yz byłoby zero).

x również nie równa się zero, ponieważ nie będziemy tu rozpatrzać liczb jednocyfrowych. Zatem dziedzina to:

x, y, z należą do zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Przyjmijmy pierw,  że zachodzi x=y. Wtedy będziemy mieć:

Można to zapisać w inny sposób:

Z czego winika, że 10x+z=10z+x czyli

9x-9z = 0

9(x-z)=0

By się tak stało, to x-z musi się równać zero. Aby tak się stało musi zachodzić 

x=z. Zatem jeśli x=y i x=z, to x=y=z. Jeśli zostanie ta równość spełniona, to zawsze otrzymamy taki ułamek.  mowa o ułamkach  postaci:

gdzie k należy do zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.  Prościej: spełniają  to ułamki 11/11, 22/22, 33/33 itd...

No ale niestety  x nie musi się równać y. Co więc się stanie, gdy wszystkie będą różne sobie.  Będzie to miało postać ogólną, którą napisałem. Rozpiszmy, co będzie wobec tego zachodziło.

Rozpisując wzór ogólny mamy:

Zauważmy, że mamy tutaj równanie diofantyczne, ponieważ jak wspomniałem to x,y,z należą do {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Aby to wyrażenie było równe zero

to wyrażenie y(9x+z) musi być podzielne przez 10, ponieważ z tego wynika, że

y(9x+z)=10xz. Jeśli tak będzie, to wyrażenie na pewno będzie równało się zero.  a więc zajmijmi się tym, że y(9x+z) jest podzielne przez 10.

By tak się stało to y może być dowolną liczbą a 9x+z wielokrotnością dziesiątki.  Przyjmijmy że x=1, wtedy z=1 również.  Jeśli x=2, to z=2, itd. Więc w tym przypadku zawsze x=z.  Przyjmujemy ponadto, że y nie równa się x, bo ten przypadek rozpatrzaliśmy. gdyby x=z=1, to y musiałby się równać 1. To już jest rozpatrzone. Ale gdyby x=2, z=2, to y musiałby się równać też 2, by to się równało zero. Więc idąc dalej cały czas mamy to, co już rozpatrzyliśmy wcześniej - to, że x=y=z.  Czyli należy przyjąć inną rzecz. A no, może jeszcze  być tak, że to, co jest w nawiasie jest wielokrotnością piątki, a to co jest przed nawiasem jest wielokrotnością dwójki. Przyjmijmy więc że x=1 i z=6, przez co jest to wielokrotność piątki.  Wtedy y * 15 musiałby się równać 60. (bo 10 * 6 * 1 to 60 , wartość wyrażenia 10xz). A więc mamy następne rozwiązanie:

x=1

y=4

z=6

Co daje ułamek 16 / 64. (jest równy 1/4).

Przyjmujemy teraz, że x=2, z=7. Wtedy 25y musiałoby się równać 140. Dawałoby to ułamek, więc ten przypadek odpada. Przyjmujemy, że x=3, z=8. Wtedy 35y musiałoby się równać 240. To również daje ułamek, więc odpada. Jest jeszcze możliwość x=4, z=9. Wtedy 45y musiałoby się równać 360. Wychodzi że y=8. Więc mamy następne rozwiązanie.

x=4

z=9

y=8

Co daje ułamek 49/98 (co daje 1/2. 

Następnie można rozpatrzać, że to co jest w nawiasie jest wielokrotnością dwójki, a przed nawiasem - wielokrotnością piątki. Żeby y był wielokrotnością piątki to może być tylko jedną liczbą - samą piątką. Przyjmujemy że x=1. Wtedy mamy równanie: 5 * (9+z) - 10z = 0

45 + 5z - 10z = 0

-5z=-45 \:9

z=9.

Więc x=1, y=5, z=9. Powstanie z tego ułamek, który podałaś w zadaniu :)

Przyjmujemy teraz, że x=2. Mamy teraz równanie:

5 * (18+z) - 10z = 0

90 + 5z - 10z = 0

-5z = -90

z=18. Nie może istnieć taka sytuacja, gdyż z nie należy do dziedziny. Gdybyśmy przyjęli, że x > 2, to z by wychodził coraz to większy. Zatem dalszych przypadków nie ma sensu rozpatrzać. Tak więc chyba wszystkie przypadki zostały rozpatrzone. Ostateczna odpowiedź, jakie ułamki otrzymaliśmy są to ułamki:

11/11, 22/22, 33/33, 44/44, 55/55, 66/66, 77/77, 88/88, 99/99, 16/64, 49/98, i 19/95.

Jeśli będą gdzieś błędy to sorry,  zadanie było bardzo trudne :P