Question

Wiedząc, ze sin^4 alfa + cos^4 alfa = 5/9 oblicz tg^2 alfa.

Bardzo proszę o rozwiązanie (pełne), w razie możliwości z wytłumaczeniem:)

Answer 1

sin⁴α + cos⁴α = 5/9                 tg²α=sin²α/cos²α

z 1 trygonometrycznej

cos²α = 1 - sin²α    < obustronnie potęgujemy

cos⁴α = (1 - sin²α)

cos⁴α= 1 - 2sin²α + sin⁴α

 

sin⁴α + 1 - 2sin²α + sin⁴α = 5/9

2sin⁴α - 2sin²α +1 - 5/9  = 0    /*9

18sin⁴α - 18sin²α + 4 = 0   / :2

9sin⁴α - 9sin²α + 2 = 0

t=sin²α  t∈<0;1>

9t² - 9t + 2 = 0

Δ = 81-72=9

√Δ = 3

t₁=(9+3)/18 = 1/3

t₂=(9-3)/18 = 1/6

 

sin²α = 1/3    ∨   sin²α = 1/6

sinα =(√3)/3 ∨sinα =-(√3)/3  ∨   sinα =(√6)/6   ∨  sinα = -(√6)/6

 

sin wyliczony, teraz trzeba podstawic pod tamto pierwsze rowanie z czwartymi potegami i wyliczyc cos.. jak widac mozliwosci powinno byc sporo ;) potem tylko podstawic wszystko pod tg.. nie wiem czy nie zrobilem bledu tutaj gdzies, milo by bylo jakby ktos to zweryfikowal, ew zaproponowal jakis lepszy pomysl na rozwiazanie, mniej czasochlonny..