Question

Sprawdź , czy trzy dane punkty A, B , C lezą na jednej prostej. a) A=(0,0) B=(1,2) C=(4,8) b) A=(-2,1/2) B=(1,-1/2) C=(3,-1) c)A=(2/7,5/7) B=(3/7,-1/7) C=(5/7,-4/7) Proszę o rozwiązania, wszystko po kolei. Wiem że to trzeba podstawić do y=ax+b ale nie umiem tego dalej rozwiązać.

Answer 1

Zad. 1

Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, np. A=(0,0)

i B=(1,2), potem sprawdzamy czy trzeci punkt C=(4,8) leży na tej prostej.

Wzór prostej przechodzącej przez dwa punkty:

y-y₁= (y₂-y₁)/(x₂-x₁)*(x-x₁)

Wyznaczamy prostą przechodzącą przez punkty A i B:

mamy współrzędne punktu A: x₁= 0 i y₁= 0

i współrzędne punktu B: x₂= 1 i y₂= 2, które podstawiamy do wzoru:

y- 0= (2-0)/(1-0)* (x-0)

y= 2/1*x

y= 2x

Jest to równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B, teraz sprawdzamy, czy punkt C= (4,8) należy do tej prostej:

y= 2x, więc za x wstawiamy 4 i mamy 2*4= 8, czyli punkt C należy do tej prostej.

Odp. Punkty A, B i C leżą na jednej prostej.

Zad. 2

Dane:

P=(-4,-6)

Q=(6,-1)

R=(-6,-2)

Obliczamy długości boków trójkąta korzystając z wzoru na długość odcinka AB, gdzie A=(xa,y₁a) i B=(xb,yb):

IABI= √[(xb-xa)²+(yb-ya)²]

Długość boku PQ:

IPQI= √[(xq-xp)²+(yq-yp)²]= √[(6+4)²+(-1+6)²]= √[10²+5²]=√[100+25]= √125= √(25*5)= 5√5

Długość boku QR:

IQRI= √[(xr-xq)²+(yr-yq)²]= √[(-6-6)²+(-2+1)²]= √[(-12)²+(-1)²]=√[144+1]= √145

Długość boku RP:

IRPI= √[(xp-xr)²+(yp-yr)²]= √[(-4+6)²+(-6+2)²]= √[2²+(-4)²]=√[4+16]= √20= √(4*5)= 2√5

Boki trójkąta PQR mają długość: 2√5, 5√5 i √145

Korzystamy z tw. Pitagorasa i obliczamy kwadraty obliczonych długości boków:

IRPI²= (2√5)²= 2√5*2√5= 4*5= 20

IPQI²= (5√5)²= 5√5*5√5= 25*5= 125

IQRI²= (√145)²= √145*√145= 145

stąd widzimy zależność IRPI²+ IPQI²= 20+ 125= 145= IQRI² czyli trójkąt PQR jest prostokątny

Obliczamy pole tego trójkąta:

P= ½*IRPI*IPQI= ½*2√5*5√5= 25

Odp. Trójkąt PQR jest trójkątem prostokątnym, bo suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych RP i PQ jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej QR i jego pole jest równe 25 jednostek kwadratowych.

Zad. 3

Dane:

A= (1,-3)
B= (6, 9)

Obliczamy długość odcinka AB, gdzie A=(xa,ya) i B=(xb,yb):

IABI= √[(xb-xa)²+(yb-ya)²]= √[(6-1)²+(9+3)²]= √[5²+12²]= √[25+144]= √169= 13

Obliczamy współrzędne środka S=(xs,ys) odcinka AB:

xs= (xa+xb)/2 i ys= (ya+yb)/2

xs= (6+1)/2= 7/2= 3½ i ys= (9+(-3))/2= 6/2= 3

S= (3½, 3)

Odp. Długość odcinka AB jest równa 13, a współrzędne jego środka S= (3½, 3).

Answer 2

y=ax+b podsatwiamy punkt A(0,0) i B(1,2)   

 

a) 

 

wyszedł nam układ równańiteraz rozwiązujemy go

b=0

a+b=2

 a+0=2

czyli wzór funkcji jest taki y=2x+0

teraz podstawiamy punkt B(4,8) pod wzór y=2x+0

8=2*4+0

8=8 tak dane punkty  leżą na jednej prostej

b)i znów podstawiamy do y=ax+b punkt A i B

1/2=-2a+b                                              a+b=-1/2

-1/2=1a+b /(-1)                                     -3/4+b=-1/2

-2a+b=1/2                                                 b=-1/2+3/4=-2/4+3/4=1/4

-a-b=1/2                                                

-3a=1/4 /(-3)           

a=-3/4

wzór funkcji y=-3/4x+1/4 podstawiamy punkt C

1=-3*(-3/4)+1/4

1=9/4+1/4

   

te punkty nie leżą na jednej prostej

c)podstawiamy pod y=ax+b Punkt A i B

/5/7=2/7a+b                                             2/7a+b=5/7

-1/7=3/7a+b /(-1)                                     2/7*(-6)+b=5/7

5/7=2/7a+b                                                 b=5/7+12/7=17/7

1/7=-3/7a-b

6/7=-1/7a /(-1/7)                                         y=-6x+17/7

a=-6

 

 

podstawiamy punkt C      

-4/7=-6*5/7+17/7

-4/7=-30/7+17/7

te punkty nie są współliniowe czyli że nie leżą na jednej prostej