Question

Wyznacz wzór ogólny monotonicznego ciągu geometrycznego (an).
a)
{a₆=-4
{a₁₀= -1/64 , to ma być w jednej klamrze

Ma wyjść a) an=-4do potęgi 7-n

c)
{a₂×a₄=1
{a₂²+a₃²=5 , to ma być w jednej klamrze

Ma wyjść c) an=4×(½)do potęgi n-1 lub an=-4×(½) do potęgi n-1

Answer 1

A)
a - pierwszy wyraz ciagu
aq⁵=-4
aq⁹=-1/64 / dzielimy obustronnie , a≠0 ∧q≠0

1/q⁴=256
q⁴=1/256
q²=1/16
q=1/4 ∨ q=-1/4, jako ze ciag jest montoniczny, to q<0 odpada
q=1/4
a *1/1024=-4
a=-4096=-4⁶

an= a₁*q^(n-1) - wzor na n-ty wyraz dla ciagu geometrycznego
an= -4⁶*4^(¹⁻n)
an=-4^(⁷-n)

b)
aq*aq³=1
a²q²+a²q⁴=5

a²q⁴=1
a²q²(1+q²)=5 / dzielimy obustronnie a≠0∧q≠0
q²/(1+q²)=1/5
5q²=1+q²
q²=1/4
q=1/2 ∨ q=-1/2 ,jako ze ciag jest montoniczny, to q<0 odpada
q=1/2
a²*1/16=1
a²=16
a=4 ∨ a=-4

an= a₁*q^(n-1) - wzor na n-ty wyraz dla ciagu geometrycznego

an= -4*(1/2)^(n-1) ∨ an= 4*(1/2)^(n-1)

Answer 2

Wyznacz wzór ogólny monotonicznego ciągu geometrycznego (an).
a)
{a₆=-4
{a₁₀= -1/64 , to ma być w jednej klamrze

a₁₀=a₆q⁴
q⁴=-1/64 : (-4) = 1/256
q=¼ lub q=-¼, ale skoro ciąg jest monotoniczny, to q=¼
a₆=a₁q⁵
a₁=-4:(¼)⁵=-4×4⁵=-4⁶
an=a₁q^(n-1)
an=-4⁶×¼^(n-1)=-4⁶×(4⁻¹)^(n-1)=-4⁶×4^(1-n)=-4^(7-n)

c)
{a₂×a₄=1
{a₂²+a₃²=5 , to ma być w jednej klamrze

a₂a₄=a₃²
a₃²=1
a₃=1 lub a₃=-1
a₂²+a₃²=5
a₂²=5-1=4
a₂=2 (a₄=½) lub a₂=-2 (a₄=-½)
aby ciąg był monotoniczny:
a₂=2, a₃=1, a₄=½ lub a₂=-2, a₃=-1, a₄=-½
w obu przypadkach q=½
a₁=4 lub a₁=-4
an=4×(½)^(n-1) lub an=-4×(½)^(n-1)