Question

TYLKO ROZWIAZANIA WSZYSTKICH ZADAN.. NA JUTRO!!

JAK NIE MOZNA ROZWIAZAC TO NA WIADOMOSC PRYWATNA..:)
PUNKTY DAM OSOBNO...:)


6)wykaz ze ciag an=-½n-1 jest arytmetyczny. wyznacz 5 poczatkowych wyrazow.
7)wykaz ze ciag o wyrazie ogolnym an=3do potegi n/5 jest geometryczny. wyznacz 5 poczatkowych wyrazow.
8)dany jest ciag ¾,x, 5/7 +2x. wykaz ze nie istnieje taka liczba x, aby ten ciag byl arytmetyczny.
9) ciag -4, x, x+¾ jest geometryczny, wyznacz x.
10) w ciagy arytmetycznym a₁=-4, r=3 a suma n poczatkowych wyrazow wynosi Sn=732. wyznacz n.
11)w ciagu geometrycznym q=2, S₈=765. wyznacz a₁.
12)dany jest ciag an= 2n+1/3 do potegi n -5. sprawdz ktory wyraz jest rowny 1.
13) dany jest ciag an =6n/n+1. wykaz ze a₁ , a₃-½, a₅, tworza ciag arytmetyczny.
14) dany jest ciag an=n²/n+1. wykaz ze a₂, a₃, 243/64 jest ciagiem geometrycznym.

Answer 1

===========================================
6)
a(n+1)=-½(n+1)-1
a(n+1)-an=-½(n+1)-1-(-½n-1)=-½ //stąd jest to ciąg artmetyczny
a1=-1½
a5=-3½
s5=5(-1½-3½)/2
s5=-12,5
===========================================
7)
an=3^(n/5)
an+1=3^(n^5+1/5)= 3^(n/5) * 3^(1/5)
an+1/an=3^(1/5) // stąd ciąg geometryczny
a1=3^1/5
a2=3^2/5
a3=3^3/5
a4=3^4/5
a5=+
s5=a1+a2+a3+a4+a5=3^1/5+3^2/5+3^3/5+3^4/5+3=3+sqrt[5]{3+9+27+81}=3+sqrt[5]{120}=5.7 (około)
===========================================
8)
x-¾=5/7+2x-x
x-¾=5/7+x
-¾=5/7 //sprzeczność stąd nie istnieje takie x, że podany ciąg będzie artmetyczny
===========================================
9)
x/-4=(x+¾)/x
x^2=-4*(x+¾)
x^2=-4x-3
x^2+4x+3=0
delta=16-12=4
sqrt(delta)=2
x1=-4+2/2
x1=-1
x2=-4-2/2
x2=-3
dla x = -1 lub dla x=-3
podany ciąg będzie geometryczny
===========================================
10)
Sn=n(a1+a1+(n-1)r)/2
1464=n(-4-4+(n-1)*3)
1464=-12n-3n^2
488=-4n-n^2
n^2+4n+488=0
stąd delta<0
więc nie istnieje takie n żeby ich suma wynosiła 732
===========================================
11)
s8=765
q=2
a1=?
a1+a1*2+a1*4+a1*8+a1*16+a1*32+a1*64+a1*128=765
255a1=765
a1=3
===========================================
12)
2n+1/3^(n-5)=1
(1/3)^(n-5)=1-2n
ln(1/3)^(n-5)=ln(1-2n)
(n-5)(ln1-ln3)=ln*(1-2n)
(n-5)*ln3=ln(1-2n)
rozwiązując tą nie równość nie dostaniemy należącego do naturalnych więc nie istnieje takie n żeby wyraz ciągu wynosił 1.
===========================================
13)
a1=3 = b1
a3-1/2=4 = b2
a5=5 = b3
b2-b1=b3-b2
4-3=5-4
1=1
stąd ciąg jest arytmetyczny.
===========================================
14)
a2=4/3 = b1
a3=9/4 = b2
243/64 = b3

b2/b1 = b3/b2

9/4 * 3/4 = 243/64 * 4/9
27/16 = 27/16
stąd ciąg jest geometryczny
===========================================

Answer 2

6)wykaz ze ciag an=-½n-1 jest arytmetyczny. wyznacz 5 poczatkowych wyrazow.

a1 = -½-1 = -3/2
a2 = -½*2 - 1 = -2
a3 = -½ * 3 - 1 = -1,5-1 = -2,5
a4 = -½ * 4 - 1 = -2-1=-3
a5 = -½ * 5 - 1 = -3,5
sprawdzenie:
(-1,5-2,5)/2 = -2
-4/2 = -2
-2=-2

7)wykaz ze ciag o wyrazie ogolnym an=3do potegi n/5 jest geometryczny. wyznacz 5 poczatkowych wyrazow.
an+1=3^(n^5+1/5)= 3^(n/5) * 3^(1/5)
an+1/an=3^(1/5) // stąd ciąg geometryczny
a1=3^1/5
a2=3^2/5
a3=3^3/5
a4=3^4/5
a5=+
s5=a1+a2+a3+a4+a5=3^1/5+3^2/5+3^3/5+3^4/5+3=3+sqrt[5]{3+9+27+81}=3+sqrt[5]{120}=5.7

8)dany jest ciag ¾,x, 5/7 +2x. wykaz ze nie istnieje taka liczba x, aby ten ciag byl arytmetyczny.

x-¾=5/7+2x-x
x-¾=5/7+x
-¾=5/7

9) ciag -4, x, x+¾ jest geometryczny, wyznacz x.

-4 * (x+¾) = x
-4x - 34 = x
-34 = 5x
x = -34/5
x = -6,8

10) w ciagy arytmetycznym a₁=-4, r=3 a suma n poczatkowych wyrazow wynosi Sn=732. wyznacz n.

732 = n(-4 + an)/2

an = -4+ 3(n-1)
an = -4+3n-3
an = 3n-7

732 = n(-4+3n-7)/2
732 = n(-11+3n)/2
1464 = -11n + 3n²
3n²-11n-1464 = 0

Δ=121-4*3*(-1464) = 17689

n1 = 11 - 133 /6 <0
n2 = 11+133/6 = 144/6 = 24

11)w ciagu geometrycznym q=2, S₈=765. wyznacz a₁

765 = a1*(1- 2⁸)/(1-2)
765 = -255 a1 / -1
765 = 255 a1
a1 = 2,9

13) dany jest ciag an =6n/n+1. wykaz ze a₁ , a₃-½, a₅, tworza ciag arytmetyczny.

a1 = 6/2 =3
a3 -½ = 18/4 - ½ = 4
a5 = 30/6 = 5

(3+5)/2 =4
8/2 = 4
4 = 4

Answer 3

Mam nadzieję, że zostanie to docenione: mimo że rozwiązałem ostatni, rozwiązywałem samodzielnie.

6)wykaz ze ciag an=-½n-1 jest arytmetyczny. wyznacz 5 poczatkowych wyrazow.
an=-½n-1
an+1=-½(n+1)-1
an+1-an=-½(n+1)-1- (-½n-1)=-½n-½-1+½n+1=-½=const, czyli jest ciągiem arytmetycznym o róznicy -½, a więc malejący.
Podstawiamy do wzoru za n kolejno: 1, 2, 3, 4, 5
a1=-1½
a2=-2
a3=-2½
a4=-3
a5=-3½

7)wykaz ze ciag o wyrazie ogolnym an=3do potegi n/5 jest geometryczny. wyznacz 5 poczatkowych wyrazow.
an=3^(n/5)
an+1=3^[(n+1)/5]
an+1/an=3^[(n+1)/5-n/5]=3^(1/5)=⁵√3 = const, czyli ciąg geometryczny o ilorazie q=⁵√3. Ponieważ q>1, to ciąg jest rosnący.
a1=⁵√3
a2=⁵√3²
a3=⁵√3³
a4=⁵√3⁴
a5=⁵√3⁵=3

8)dany jest ciag ¾,x, 5/7 +2x. wykaz ze nie istnieje taka liczba x, aby ten ciag byl arytmetyczny.
Aby ciąg był arytmetyczny, musi mieć stałą różnicę między sąsiednimi wyrazami:
x-¾=2x+5/7-x
-¾=5/7 - sprzeczność, więc nie istnieje żadne x.

9) ciag -4, x, x+¾ jest geometryczny, wyznacz x.
Aby był geometryczny musi mieć stały iloraz:
x:(-4)=(x+¾):x, x≠0
-¼x²= x+¾      /*(-4)
x²+4x+3=0
Δ=4²-4*3=4
√Δ=2
x1=(-4-2)/2=-3
x2=(-4+2)/2=-1
Czyli iloraz q=-3:(-4)=¾ lub q=-1:(-4)=¼

10) w ciagy arytmetycznym a₁=-4, r=3 a suma n poczatkowych wyrazow wynosi Sn=732. wyznacz n.
Sn=(a1+an)n/2=[a1+a1+r*(n-1)]n/2
732=[2*(-4)+3(n-1)]n/2
1464=3n²-11n
3n²-11n-1464=0
Δ=121+4*3*1464=17689
√Δ=133
n=(11±133)/6=24
Ujemną wartość odrzucamy, bo n∈N

11)w ciagu geometrycznym q=2, S₈=765. wyznacz a₁.
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
765=a1(1-2⁸)/(1-2)
765=a1(1-256)/(-1)
255a1=765
a1=3

12)dany jest ciag an= 2n+1/3 do potegi n -5. sprawdz ktory wyraz jest rowny 1.
Chyba chodziło o ciąg:
an=(2n+1)/3^(n-5)
Ma być an = 1, czyli
1=(2n+1)/3^(n-5)
3^(n-5)=2n+1
n musi być >= 5, aby po obu stronach były liczby całkowite
dla n=5:    1=11 fałsz
dla n=6:    3=13 fałsz
dla n=7:    9=15 fałsz
dla n=8:    27=17 fałsz
i dalej już nie będzie równości, bo ciąg wykładniczy szybciej rośnie niż liniowy
Nawet gdyby chodziło o ciąg:
an=2n+1/3^(n-5), to też nie znajdziemy takiego n, aby an=1, ponieważ ciąg składa się ze składników dodatnich, a pierwszy składnik ma najmniejszą wartość dla n=1 i wynosi 2 > 1, więc nigdy nie będzie równy 1.
Jedyna możliwość, która da rozwiązanie to:
an=(2n+1/3)^(n-5)
Taki ciąg oczywiście będzie równy 1 , jeśli wykładnik potęgi będzie zerem, czyli dla n=5:
a₅=(10+1/3)^(5-5)=(10+1/3)⁰ = 1
Jeśli o to chodziło, to widzisz, jak ważne jest właściwe używanie nawiasów...

13) dany jest ciag an =6n/n+1. wykaz ze a₁ , a₃-½, a₅, tworza ciag arytmetyczny.
Oczywiście powinno być napisane:
an=6n/(n+1)
a1=6*1/(1+1)=3
a₃-½=6*3/(3+1)-½=4
a₅=6*5/(5+1)=5
Wyrazy 1 i 2 różnię się o tę samą wartość co wyrazy 2 i 3 (o 1), więc to jest ciąg arytmetyczny.

14) dany jest ciag an=n²/n+1. wykaz ze a₂, a₃, 243/64 jest ciagiem geometrycznym.
an=n²/(n+1)
a₂=2²/(2+1)=4/3
a₃=3²/(3+1)=9/4
243/64
a₃/a₂=9/4 / (4/3)=9/4 * (3/4)=27/16=q1
243/64 / (9/4)= 243/64 * (4/9)= 27/16=q2
q1=q2, więc jest to ciąg geometryczny