Question

Usuń niewymierność z mianownika ułamka u=(6+3√2-3√6_2√3)/(√6-√2) , a następnie zapisz liczbę |u| nie używając symbolu wartości bezwzględnej.

Answer 1

Mam rozumieć, że to _ oznacza znak odjąć :) Więc aby usunąć niewymierność z tego ułamka należy go rozszerzyć przez  (pierwiastek z 6 + pierwiastek z 2). Zróbmy to:

 

Mogę zapisać że to jest to samo, ponieważ pierwiastek z 6 + pierwiastek z 2 / pierwiastek z 6 + pierwiastek z 2 to 1. Czyli nic nam się nie zmieni. Pomnóżmy teraz to wszystko: (korzystając rzecz jasna z prawa (a-b)(a+b)=a^2-b^2 , jeśli chodzi o nasz mianownik).

Teraz każdy składnik przed nawiasem w liczniku mnożymy przez każdy składnik w drugim nawiasie. Otrzymamy :

(Mam rozumieć, że prawa działań na pierwiastkach znasz, więc nie muszę tłumaczyć skąd się wzięły poszczególne składniki). Zauważyć jednak należy, że od razu  kasują nam się 3 pierwiastki z 12  i że można dodać -18 do 6 oraz 6 pierwiastków z 6 odjąć 2 pierwiastków z 6. Zróbmy powyższe działania. Otrzymujemy:

Ale to jednak nie koniec. Należy zauważyć pewną rzecz. Możemy wystawić czynnik przed znak pierwiastka (mowa tu o -2 pierwiastków z 18). Zróbmy to:

Podstawiamy -6 pierwiastków z 2 pod -2 pierwiastków z 18. Mamy:

Zauważamy, że 6 pierwiastki z dwóch się ,,kasują''. Więc mamy:

\

I w tym momencie dobiegł koniec usuwania niewymierności.  Teraz należy obliczyć wartość bezwzględną z tego. By to zrobić, trzeba się zastanowić czy -3 + pierwiastek z 6 jest liczbą dodatnią czy ujemną. Liczbą dodatnią byłoby wtedy, gdyby pierwiastek z 6 był większy niż 3. Ale pierwiastek z 6 jest większy niż 2, ale mniejszy niż 3 (bo pierwiastek z 9 to już 3). Zatem -3 + pierwiastek z 6 jest liczbą ujemną. Jeśli wsadzamy liczbę ujemną do wartości bezwzględnej przepisujemy ją ze ZMIENIONYM znakiem. Zatem wystarczy tylko zmienić znak, otrzymujemy:

.