Question

Kula o masie 4kg i promieniu 0,5m stacza się bez poślizgu z wysokości 2m po równi pochyłej nachylonej pod kątem 30^ do poziomu (I=2/5mr2)
a) nazwij siły działające na kulę podczas ruchu
b) oblicz prędkość kuli u podnóża równi
c) oblicz czas staczania się kuli z równi

Answer 1

M = 4 kg       r = 0.5 m        h = 2 m           α = 30°           g = 9.81 m/s²

a)   m·g  -  ciężar kuli (siła ciężkości)
      T   -   tarcie
      R   -   reakcja normalna podłoża
Dodatkowo ciężar rozkładamy na składowe:
Fs - styczną do powierzchni równi, Fs = m·g·sinα
Fn - normalną do powierzchni równi, Fn = m·g·cosα

b)  Z zasady zachowania energii mechanicznej:
Ep = Ek' + Ek"
m·g·h = m·v²/2 + I·ω²/2                 ω = v/r
m·g·h = m·v²/2 + I·(v/r)²/2
2·g·h = v² + v²·I/(m·r²)
v = √[2·g·h/(1 + I/(m·r²))]

Po wstawieniu momentu bezwładności kuli  I = (2/5)·m·r²   otrzymujemy:
v = √[2·g·h/(1 +2/5)] = √(10·g·h/7)
v = √(10·9.81·2/7) = 5.29 m/s

c)  Najpierw z II zasady dynamiki obliczamy przyspieszenie liniowe a :
m·a = m·g·sinα - T             I·ε = T·r             ε = a/r
m·a  = m·g·sinα - I·a/r²
a·(1 + I/(m·r²)) = g·sinα            i         I = (2/5)·m·r²
a·(1 + 2/5) = g·sinα
a = (5/7)·g·sinα

Następnie czas staczania z kinematyki ruchu jednostajnie przyspieszonego:
s = a·t²/2       --->      t = √(2·s/a)          ,   gdzie s = h/sinα
t = √[2·(h/sinα)/((5/7)·g·sinα)] = √[14·h/(5·g·sin²α)]
t = √[14·2/(5·9.81·sin²30°)] = 1.51 s