Question

A)
wykaz ze funkcja f(x)=(x⁴+3x²-4)/(x-1) ma tylko jedno miejsce zerowe.
b)
dane jest wyrazenie wielomianowe W(x)=(x³+3x²-4x-12)/(x²+x-6)(x²+4x+4) doprowadz do postaci ulamka nieskracalnego, liczbe W(∛2)przedstaw w postaci ulamka o wymiernym mianowniku.
c)
rozwiaz rownanie a²x-5=25x-a w zaleznosci od padametru a.
d)
pierwiastki wielomianu trzeciego stopnia W(x) sa liczby 1 i -1 wielomian ten jest podzielny przez x+5 napisz wzor tego wielomianu wiedzac ze punkt A(-2;18) nalezy do wielomianu. wyznacz parametry ai b tak aby W(x)=P(x) jesli
P(x)=2x³+(a+b)x²-2x+b
e)
wykresem funkcji liniowej jest linia prosta k nachylona do osi OX pod katem rozwartym α takim, ze cos(α)=-3/5
wykaz ze prosta k jest prostopadla do prostej l: 6x-8y+7=0, wyznacz wszystkie wartosci parametru m tak aby prosta k byla rownolegla do prostej h o rownaniu (m-3)x-(m+2)y-5=0


daje 116 punktow po to zeby dostac jasne i krok po kroku ukazane rozwiazania.
:)

Answer 1

A)

f(x)=(x⁴+3x²-4)/(x-1)
D: x∈R\{1}

(x⁴+3x²-4)/(x-1) = 0
x⁴+3x²-4 = 0
niech t=x² ∧ t≥0
t²+3t-4 = 0
Δ=9+16 = 25, √Δ=5
t=-4 (sprzeczność) ∨ t=1
x²=1
x=1 (nie należy do dziedziny) ∨ x = -1
więc funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe: x=-1

b)

W(x) = (x³+3x²-4x-12)/(x²+x-6)(x²+4x+4) =
= (x²(x+3)-4(x+3))/(x-2)(x+3)(x+2)² =
= (x+3)(x-2)(x+2)/(x-2)(x+3)(x+2)² =
= 1/(x+2)
W(∛2) = 1/(∛2 + 2) = (∛4 - 2∛2 + 4)/(2 + 8) =
= (∛4 - 2∛2 + 4)/10

c)

a²x-5=25x-a
a²x-25x = 5-a
(a²-25)x = 5-a
x = (5-a)/(a²-25) dla a∈R\{5, -5}
x = -(a-5)/(a-5)(a+5) = -1/(a+5)

dla a=5:
0 = 0 nieskonczenie wiele rozwiazan

dla a=-5
0 = 10 brak rozwiazan

odp:
a∈R\{5, -5} to 1 rozw.: x = -1/(a+5)
a=5 to nieskonczenie wiele rozwiazan
a=-5 to brak rozwiazan

d)

W(x) = ax³+bx²+cx+d
W(1) = 0
W(-1) = 0
W(-5) = 0
W(-2) = 18
a+b+c+d = 0
-a+b-c+d=0
-125a+25b-5c+d=0
-8a+4b-2c+d=18
rozwiazanie tego ukladu rownan jest proste ale zarazem zmudne dlatego przedstawie gotowy wynik
a=2
b=10
c=-2
d=-10
W(x)= 2x³+10x²-2x-10

P(x)=2x³+(a+b)x²-2x+b
P(x) = W(x) <=> a+b = 10 ∧ b = -10
a=20
b=-10

e)

prosta k:
y = ax+b
a = tgα
cosα = -3/5
sin²α = 1-cos²α = 1- 9/25 = 16/25
sinα = 4/5 bo α∈(0⁰, 180⁰)
tgα = sinα/cosα = (4/5)/(-3/5) = -4/3
a=-4/3
prosta l:
6x-8y+7=0
8y = 6x+7
y = 3/4x + 7/8

prosta l jest prostopadla do prostej k poniewaz
-1/a = -1/(-4/3) = 3/4

prosta h:
(m-3)x-(m+2)y-5=0
(m+2)y = (m-3)x-5
dla m≠-2:
y = (m-3)/(m+2)x - 5/(m+2)
(m-3)/(m+2) = -4/3
3(m-3) = -4(m+2)
3m-9 = -4m-8
7m = 1
m = 1/7