Question

Zad. 1 oblicz miary kata wpisanego i srodkowego opartych na łuku 4/5 okręgu.
zad. 2 w prostokącie o polu 24 cm2. stosunek dlugosci bokow wynosi 2:3 (2 do 3).oblicz dlugosc przekatnej prostokata.
zad.3 w rombie dłuższa przekątna tworzy z ramieniem kąt 30 stopni. oblicz pole i obwod rombu, wiedzac ze dlugosc tej przekatnej wynosi 6 cm.
zad. 4 w rownolegloboku o polu rownym 120 cm2. przekatne przecinaja sie pod katem 50stopni. oblicz dlugosc krotszej przekatnej ,jezeli dluga ma 16 √3 cm.
zad.5 koło , trojkat rownoboczny i kwadrat maja taki sam obwod. ktora z tych figur ma najwieksze, a ktora najmniejsze pole?

Answer 1

Zad. 1
Pełny kąt to 2π radianów albo 360⁰, a więc 4/5 kąta środkowego stanowi 4/5 * 2π = 8/5π = 4/5 *360⁰ = 288⁰.
Kąt wpisany jest 2 razy mniejszy, a więc wynosi: 0,8π = 144⁰

zad. 2
2x - jeden bok
3x - drugi bok (stosunek 2x:3x=2:3)
2x * 3x = 24
6x² = 24
x² = 4
x = 2
2x = 4
3x = 6
p = √(4²+6²) = √52 = √(4*13)= 2√13 cm

zad.3
Romb ten składa się z dwóch trójkątów równobocznych, których wysokość jest równa połowie dłuższej przekątnej, czyli 6 cm/2 = 3 cm.
Druga przekątna ma długość równą bokowi rombu (trójkąta).
Wysokość trójkąta równobocznego, którą można wyliczyć z tw. Pitagorasa wynosi 0,5√3 długości podstawy, więc podstawa a=h/(0,5√3) = 2h√3/3
Wiemy, że h=3cm, więc a= 2√3.
Pole możemy wyliczyć z sumy pól trójkątów albo z połowy iloczynu przekątnych:
P = 1/2 * 6 * 2√3 = 6√3.
Obwód wynosi 4a = 8√3.

zad. 4
Przekątne przecinają się w połowie. Oznaczmy przez a i b połowy przekątnych.
Wówczas pole rombu można wyrazić sumą pól trójkątów, których pola można wyliczyć jako połowa iloczynu boków przez sin kąta między nimi:
½ ab sin α. Okazuje się, że wszystkie mają równe pola, ponieważ dwa z nich mają pole:
½ ab sin α, a drugie:
½ ab sin (180-α), a wiadomo, że sin α = sin(180-α)
Tak więc pole wynosi 4 * ½ ab sin α = 2absinα
Jeśli b jest znane (b>a), to
a = P/(2bsinα)
a = 240 / (2 * ½ * 16√3 *sin50⁰) = 5√3 / sin50⁰ ≈ 11,3 cm
więc 2a ≈ 22,6 cm

Gdyby kąt wynosił 60⁰, to wynik byłby "ładniejszy": 2a = 2 * 5√3 /(√3/2) = 20

Odp. Ok. 22,6 cm

zad.5
Największe pole ma koło, a trójkąt najmniejsze, co można wykazać przy pomocy wzorów:
Obwód koła O=2πR => Pole koła P(k) =πR²
P(Δ)= 1/2 * 2πR/3 * √3/2 * 2πR/3 = π²R²√3 /9 = π√3 /9 * P(k) ≈ 0,6 * P(k)
P(kw)= (2πR/4)² = ¼π * πR² ≈ 0,79 * P(k)
A więc:
P(Δ) < P(kw) < P(k)