Question

1.Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a=-2n+8 Wyznacz wszystkie dodatnie wyrazy tego ciągu.

2.Wykaż, że ciąg o wyrazie ogólnym an=-½n - 1 jest arytmetyczny.

3. Wykaż że ciąg o wyrazie ogólnym an=³n/5 jest geometryczny.
DAM NAJ;))))

Answer 1

1.Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a=-2n+8 Wyznacz wszystkie dodatnie wyrazy tego ciągu.

zobacz masz wyznaczyc wyrazy dodatnie a więc takie które sa większe od zera
wystarczy rozwiązac nierównośc

-2n + 8 > 0
-2n > -8 I : (-2)
n < 4

z definicji ciagu wiemy że n ∈ N ₊
czyli dodatnie są pierwszy drugi i tzreci wyraz ciagu. mozna to sprawdzić

a₁ = - 2 * 1 +8 = -2 + 8 = 6
a₂ = -2 * 2 + 8 = -4 + 8 = 4
a₃ = -2 * 3 + 8 = -6 + 8 = 2

teraz możesz sobie np. sprawdzić czy nastepny wyraz ciagu nie będzie dodatni? nastepny wyraz to czwarty wyraz ciagu
a₄ = -2 * 4 + 8 = -8 + 8 = 0 a zero nie ejst liczba ani dodatnia ani ujemna, nastepne wyrazy ciagu sa juz liczbami ujemnymi :)


2.Wykaż, że ciąg o wyrazie ogólnym an=-½n - 1 jest arytmetyczny.

Aby rozwiązac to zadanie wystarczy sobie policzyc kilka kolejnych wyrazów ciagu

a₁ = -½ * 1 - 1 = -½ - 1 = -1½
a₂ = -½ * 2 - 1 = - 1 - 1 = -2
a₃ = -½ * 3 - 1 = - 1½ - 1 = -2½
a₄ = -½ * 4 - 1 = -2 -1 = -3

teraz musimy sobie policzyc róznicę między jakikolwiek wyrazem ciagu a wyrazem przed nim stojącym tzw. wyrazem poprzednim. za kazdym razem różnica musi miec taka sama wartośc. policzmy sobie różnicę między drugim a pierwszym wyrazem ciagu
r = a₂ - a₁ = - 2 - (-1½) = -2 + 1½ = ½
teraz sprawdzmy między trzecim a drugim wyrazem ciagu
r = a₃ - a₂ = -2½ - (- 2) = -2½ + 2 = -½
i dla pewności policzmy róznicę między czwartym a trzecim wyrazem ciagu
r = a₄ - a₃ = -3 - (- 2½) = -3 + 2½ = ½

za każdym razem róznica wynosi ½. więc jest to ciag arytmetyczny

3. Wykaż że ciąg o wyrazie ogólnym an=³n/5 jest geometryczny.

zobacz w ciagu geometrycznym liczymy różnice między kolejnymi wyrazami ciagu. natomiast w ciagu geometrycznym liczymy iloraz ciagu, a oznaczamy go literą q. I znowu jak w poprzednim zadaniu policzymy sobie kilka wyrazów tego ciagu

a₁ = 3¹ / 5 = ⅗
a₂ = 3² / 5 = ⁹/₅
a₃ = 3³ / 5 = ²⁷/₅
a₄ = 3⁴ / 5 = ⁸¹/₅

teraz wystarczy policzyc iloraz q, czyli podzielić jakikolwiek wyraz ciagu przez wyraz go poprzedzający, np.
q = a₂ / a₁ = ⁹/₅ : ⅗ = ⁹/₅ * ⁵/₃ = 3
sprawdzamy teraz iloraz między trzcim a drugim wyrazem ciagu
q = a₃ / a₂ = ²⁷/₅ : ⁹/₅ = 3
i liczymy dla pewności iloraz między czwartym a trzecim wyrazem ciagu
q = a₄ / a₃ = ⁸¹/₅ : ²⁷/₅ = 3

iloraz ciagu jest za kazdym razem równy 3, ma taka sama wartośc więc jest to ciag geometryczny